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章末综合检测（五） 三角函数
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0，
∴角α的终边在第二象限．
2．已知tan θ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D．
解析：选B ∵tan θ＝2，∴＝＝＝＝－2.
3．函数f(x)＝tan的最小正周期是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 函数f(x)＝tan的最小正周期是＝2.
4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )
解析：选D 当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0＜a＜1时，T＞2π，且最小值为正数，A符合；当|a|＞1时，T＜2π，且最小值为负数，B符合，排除A、B、C，故选D.
5．已知角α是第四象限角，且满足sin－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin－3cos(α－π)＝1，
得－cos α＋3cos α＝1，即cos α＝.
∵角α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－.
∴tan(π－α)＝－tan α＝－＝.
6．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，已知函数f(x)的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是4π
B．函数f(x)在上单调递增
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点对称
解析：选A 由题意，f(x)的最小正周期为4π，
∴ω＝＝，
∵当x＝时，f(x)取得最大值．
即×＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵0＜φ＜，
∴φ＝.
∴f(x)＝2sin.
对于A，正确；
对于B，当x∈，x＋∈，由正弦函数的单调性可知错误；
对于C，由2sin≠2，故错误；
对于D，由2sin≠0，故错误．
7．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选B y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
∴y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得x∈.
8．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格，单位为元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：选C 由表格数据可知，10 000＝500sin(ω＋φ)＋9 500，9 500＝500sin(2ω＋φ)＋9 500，
∴sin(ω＋φ)＝1，sin(2ω＋φ)＝0，
即ω＋φ＝2kπ＋，k∈Z,2ω＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
解得ω＝，φ＝2kπ，k∈Z，
∴x＝3时，y＝500sin＋9 500＝9 000元，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，那么这个圆的半径r＝________.
解析：由弧长公式l＝αr，
得r＝＝＝1.
答案：1
10．已知tan x＝，则＝________.
解析：∵tan x＝，∴＝＝2tan x＝2×＝1.
答案：1
11.如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________．
解析：由图象，可得A＝，
·＝－，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2·＋φ＝0，求得φ＝－，
故函数的解析式为y＝sin.
答案：y＝sin
12．已知函数y＝3sin的图象向左平移φ个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．
解析：函数y＝3sin的图象向左平移φ个单位长度后，可得函数y＝3sin的图象，再根据所得函数图象关于原点成中心对称，得sin＝0，∴2φ＋＝kπ，k∈Z，
∵0<φ<，∴令k＝1，得φ＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)已知cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β均为锐角．
(1)求sin 2α的值；
(2)求sin β的值．
解：(1)∵cos α＝，α为锐角，
∴sin α＝＝ ＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2)∵α，β均为锐角，cos(α＋β)＝，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝ ＝ ＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－×＝.
14．(10分)(1)化简：；
(2)求证：tan－tan＝2tan 2α.
解：(1)＝＝＝tan θ.
(2)证明：∵等式左边＝tan－tan＝－＝＝2tan 2α＝右边，
∴等式成立．
15．(10分)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α的值．
解：(1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)由f(α)＝，可得sin＝.
∵α∈，∴2α＋∈.
又∵0＜sin＝＜，∴2α＋∈，
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos＝coscos＋sinsin＝.
16．(12分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一个对称中心为，其图象上相邻两个最高点间的距离为π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用“五点作图法”在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象，并写出函数f(x)的单调递减区间．
解：(1)∵函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一个对称中心为，
其图象上相邻两个最高点间的距离为π，
∴ω·＋φ＝kπ，k∈Z，且＝π，
∴ω＝2，φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象，列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
2
0
－2
0
描点作图：
函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2 019°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C ∵2 019°＝5×360°＋219°，
且180°<219°<270°，
∴2 019°是第三象限角．
2．已知锐角α满足cos＝，则sin＝( )
A. B．±
C. D．±
解析：选C ∵锐角α满足cos＝，∴α＋为锐角，∴sin＝ ＝，
则sin＝2sincos＝2××＝.
3.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D ＝＝＝＝4×＝4.
4．在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选B ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴tan B＝＝＝，
即＝，
∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cos A＝0.
∵0＜A＜π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.
5．已知sin＋3cos(θ－π)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵sin＋3cos(θ－π)＝sin(－θ)，
即cos θ－3cos θ＝－sin θ，∴tan θ＝2.
∴sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝，故选C.
6．函数f(x)＝cos2x的减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 函数f(x)＝cos2x＝，
由2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
7．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则( )
A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝
C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝
解析：选B 由图象可知，A＝1，＝1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T＝，∴ω＝，故选B.
8．若当x＝θ时，函数f(x)＝3sin x＋4cos x取得最大值，则cos θ＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选B 函数f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，
其中sin φ＝.
当x＝θ时，f(x)取得最大值，即θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－θ＋2kπ，k∈Z，
∴sin＝，
即sin＝，
∴cos θ＝.
9．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若f(x)在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是( )
A. B.∪
C.∪ D.
解析：选B ∵函数f(x)＝2sin(ω>0)在区间(π，2π)内无最值，
∴区间(π，2π)是函数的一个单调区间，
故有kπ－≤ωπ＋，2ωπ＋≤kπ＋，k∈Z.
解得k－≤ω≤＋，k∈Z.
取k＝0，可得0<ω≤；取k＝1，可得≤ω≤.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)的单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
解析：选C 由题意，R＝＝6，T＝60＝，∴ω＝，∵tan φ＝＝－，∴φ＝－.故A正确；f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)不单调，C不正确；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，正确．故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝________.
解析：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，∴cos θ＝，sin θ＝，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
∴cos＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝－1.
答案：－1
12．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
解析：∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.
答案：－4
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y＝f(x)图象的对称中心，则ω的最小值为________．
解析：∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)是偶函数，
∴φ＝k1π＋，k1∈Z.
∵点(1,0)是函数y＝f(x)图象的对称中心，
∴sin(ω＋φ)＝0，可得ω＋φ＝k2π，k2∈Z，
∴ω＝k2π－φ＝(k2－k1)π－.
又ω＞0，所以当k2－k1＝1时，ω的最小值为.
答案：
14．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是________．
解析：①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确；
②中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，②错误；
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误；
④中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确．
综上，①④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)因为角α的终边经过点P，
r＝ ＝1，
由正弦函数的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝－＝－，
由余弦函数的定义得cos α＝，
故所求式子的值为－2.
16.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)∵在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，
它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动，
由点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴tan α＝＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则B，
∴tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝2kπ＋，k∈Z，
∴与角α终边相同的角β的集合为.
(3)弓形AB的面积S＝S扇形AOB－S△AOB＝·α·12－·1·1·sin α＝(α－sin α)，α∈.
故S＝α－sin α，α∈.
17．(10分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin＋a(ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a
＝4cos ωx·＋a
＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a
＝2sin＋1＋a.
当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，
又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，
∴a＝－1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝2，
∴ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
18．(10分)已知函数f(x)＝sin－4cos2x，将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝sin－4cos2x
＝－4×
＝sin 2x＋cos 2x－2cos 2x－2
＝sin 2x－cos 2x－2
＝sin－2，
∴由题意可得g(x)＝sin－2＋2＝sin.
(2)∵x∈，可得2x＋∈，
∴sin ∈，
∴当x＝时，函数g(x)有最大值1；
当x＝时，函数g(x)有最小值－.
19．(12分)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图象．
(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又∵ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sin t＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sin t＋10≥11.5，t∈，
∴sin t≥，
∴t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]．
∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．
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