2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十直线与平面垂直一新人教A版必修2.doc

课时素养评价 三十
直线与平面垂直(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.如图，AB是☉O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有 (　　)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选A.因为AB是圆O的直径，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
三角形ABC是直角三角形，
又因为PA⊥平面ABC，
所以△PAC，△PAB是直角三角形.
且BC在这个平面内，
所以PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所以BC⊥平面PAC，
所以△PBC是直角三角形.
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.
2.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 (　　)

A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
【解析】选C.因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.
因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC，
又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.
显然MA与BD不共面，
因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.(2019·镇江高一检测)若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选B.正四棱锥S-ABCD的侧棱和底面边长相等，作SO⊥底面ABCD，垂足为O，

所以∠SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，设AB=a，则SB=a，OB=BD=，
所以cos∠SBO===，
所以∠SBO=45°，
所以该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45°.
4.(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有(　　)

A.① B.② C.③ D.④
【解析】选BD.在①中，AB与CE的夹角为45°，
所以直线AB与平面CDE不垂直，故①不符合；
在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；
在③中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故③不符合；
在④中，AB⊥DE，AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.在三棱锥P-ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影，若点P到△ABC三边的距离相等，则点O是△ABC的________心；若PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O是△ABC的________心. 
【解析】因为点P到△ABC三边的距离相等，所以点O到△ABC三边的距离相等，所以点O是△ABC的内心；PA，PB，PC与底面ABC所成的角相等，则点O到A，B，C的距离相等，所以点O是△ABC的外心.
答案：内　外
6.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________. 

【解析】如图，设C在平面α内的射影为点O，

连接AO，MO，则∠CAO=30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设AC=BC=1，则AB=，
所以CM=，CO=，所以sin∠CMO==，
所以∠CMO=45°.
答案：45°
【加练·固】
　　 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________. 

【解析】连接EB，由BB1⊥平面ABCD，

知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中，BF=1，BE=，
则tan∠FEB=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，且FA=FC.求证AC⊥平面BDEF.

【证明】设AC与BD相交于点O，连接FO，

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC的中点，又FA=FC，
所以AC⊥FO，
因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF.
8.(14分)如图，在四面体A-BCD中，∠BDC=90°，AC=BD=2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF=.求证：BD⊥平面ACD.

【证明】取CD的中点为G，连接EG，FG.

又因为E，F分别为AD，BC的中点，
所以FG∥BD，EG∥AC.
因为AC=BD=2，则EG=FG=1.
因为EF=，所以EF2=EG2+FG2，
所以EG⊥FG，所以BD⊥EG.
因为∠BDC=90°，所以BD⊥CD.
又EG∩CD=G，所以BD⊥平面ACD.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°，以下能使A1C⊥BC1的是 (　　)

A.AB=AC B.AA1=AC
C.BB1=AB D.CC1=BC
【解析】选B.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，即AB⊥AC，
又AA1⊥AB，AA1∩AC=A，

所以AB⊥平面AA1C，
又A1C⊂平面AA1C，所以AB⊥A1C，
若AA1=AC，则矩形AA1C1C为正方形，
可得：A1C⊥AC1，
又AB∩AC1=A，所以A1C⊥平面ABC1，
又BC1⊂平面ABC1，所以A1C⊥BC1.
2.(4分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.如图，连接AC.
因为PA⊥平面ABCD，

所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
因为AC=，PA=，
所以tan∠PCA===.
所以∠PCA=60°.
3.(4分)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条.  

【解析】因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.
又AC⊥BO，PO∩BO=O，所以AC⊥平面PBD，
所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直.
答案：4
4.(4分)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正确结论的序号是________.  

【解析】连接SO，如图所示，

因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，
因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SBD，
因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，则①正确；
因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以AB∥平面SCD，则②正确；
因为SD⊥底面ABCD，所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为AD=CD，SD=SD，
所以∠SAD=∠SCD，则③正确；
因为AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，
所以AC⊥SO，则④正确.
答案：①②③④
5.(14分)(2019·衢州高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面A
BCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，PA=，M是PB的中点.

(1)求证：PD∥平面ACM.
(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.
【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OM，
由底面ABCD是菱形，知O是BD的中点，
又M是BP的中点，所以OM∥DP，
又OM⊂平面ACM，所以PD∥平面ACM.
(2)取AB中点E，连接ME，CE，

由题可知△ACB是等边三角形，所以CE⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
所以平面ABCD⊥平面PAB.
又平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以CE⊥平面PAB，
所以直线CM与平面PAB所成角为∠CME，
因为ME=PA=，CE=，
又MC==，
所以sin∠CME==.
【加练·固】
　　 (2019·静安高一检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB
⊥AD，BC=BA=AD=m，VA⊥平面ABCD.

(1)求证：CD⊥平面VAC.
(2)若VA=m，求CV与平面VAD所成角的大小.
【解析】(1)因为AB=BC，∠ABC=90°，

所以∠CAB=∠ACB=45°，
取AD中点G，连接CG，
因为BC∥AD，所以四边形ABCG为正方形.
所以CG=GD，∠CGD=90°，所以∠DCG=45°，所以∠DCA=90°，所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，因为CA∩VA=A，所以CD⊥平面VAC.
(2)连接VG，由⇒CG⊥平面VAD，
所以∠CVG是CV与平面VAD所成的角，
VC==2m；CG=m，
所以∠CVG=30°，所以CV与平面VAD所成角为30°.

1.如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且
∠BAC=60°，下列说法中错误的是 (　　)

A.AD⊥平面BDC B.BD⊥平面ADC
C.DC⊥平面ABD D.BC⊥平面ABD
【解析】选D.不妨设AD=BD=CD=1，
则由题意可得AB=AC=，
因为∠BAC=60°，所以BC=AB=AC=，
可得∠BDC=90°，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，
可得：AD⊥平面BDC，A正确；
BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，
可得：BD⊥平面ADC，B正确；
CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD=D，
可得：CD⊥平面ABD，C正确.
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=，D是A1B1的中点.

(1)求证C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1=B1C1=1，且∠A1C1B1=90°.
又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.
因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1=A1，
所以C1D⊥平面AA1B1B.
(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求.

因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF，DF∩C1D=D，
所以AB1⊥平面C1DF.
因为AA1=A1B1=，所以四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，所以F为BB1的中点，
所以当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.

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