资源描述
3.3 函数的应用（一）
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )
A．2000双 B．4000双
C．6000双 D．8000双
答案 D
解析 由题意得5x＋40000≤10x，解得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．
2．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5,6) B．(5,6]
C．[6,7) D．(6,7]
答案 B
解析 若按x千米(x∈N)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．120.25万元 B．120万元
C．90.25万元 D．132万元
答案 B
解析 设在甲地销售了x辆车，则在乙地销售了(15－x)辆车，令总利润为L，则L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋120.
因为x∈N，所以当x＝9或10时，L有最大值，Lmax＝120(万元)．所以在甲地销售9辆车，在乙地销售6辆车或在甲地销售10辆车，在乙地销售5辆车时可获得最大利润120万元．
4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
答案 B
解析 依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2－30＝10，当且仅当＝，即x＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
5．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )
A．6.9 m B．7.0 m
C．7.1 m D．6.8 m
答案 A
解析 建立如图所示的坐标系，由题设条件知抛物线对应的函数解析式为y＝ax2.设A点的坐标为(4，－h)，则C点的坐标为(3，3－h)．将这两点的坐标分别代入y＝ax2，
可得解得
所以厂门的高约为6.9 m.
二、填空题
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(kg)与运费y(元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．
答案 19 kg
解析 设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30,330)，(40,630)代入得y＝30x－570，令y＝0可得x＝19.
7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案 60
解析 设涨价x元时，获得的利润为y元，有y＝(5＋x)·(50－2x)＝－2x2＋40x＋250.∴当x＝10时，y取得最大值，此时售价为60元．
8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大．
答案 2
解析 C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值．
三、解答题
9．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出以下两种优惠方法：
①买一个茶壶赠送一个茶杯；
②按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y元，试分别建立两种优惠方法中y与x的函数解析式，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算．
解 由优惠方法①，得函数解析式y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)．
由优惠方法②，得函数解析式y2＝(5x＋4×20)×92%＝4.6x＋73.6.
所以y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)．
当0.4x－13.6>0，即x>34时，y1>y2，
则优惠方法②合算；
当0.4x－13.6＝0，即x＝34时，y1＝y2，
则两种优惠方法付款数一样；
当0.4x－13.6<0，即4≤x<34时，y1<y2，
则优惠方法①合算．
10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月每辆需维护费150元，未租出的车每月每辆需维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益为多少？
解 (1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(x－150)－×50，
整理，得f(x)＝－＋162x－21000
＝－(x－4050)2＋307050，
所以当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
B级：“四能”提升训练
1．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图像如图所示．
(1)根据图像，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
解 (1)由图像知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，得解得所以y＝－x＋1000(500≤x≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，
成本总价＝成本单价×销售量＝500y，
代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．
所以当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．
2．住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形(如图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解 (1)设DQ＝y，则x2＋4xy＝200，y＝.
S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38000＋4000x2＋(0<x<10)．
(2)S＝38000＋4000x2＋≥38000＋2＝118000，当且仅当4000x2＝，即x＝时，Smin＝118000，即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
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