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第2课时 函数的表示方法
最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
知识点一 函数的表示方法
1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图像法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
知识点二 分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
[基础自测]
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.
答案：D
2．已知函数f(x)＝则f(2)等于( )
A．0 B.
C．1 D．2
解析：f(2)＝＝1.
答案：C
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．3x＋2 B．3x＋1
C．3x－1 D．3x＋4
解析：方法一 令2x＋1＝t，则x＝.
∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二 ∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
答案：A
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________．
当g(f(x))＝2时，x＝________.
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
题型一 函数的表示方法[经典例题]
例1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
【解析】 (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．
【答案】 (1)D
(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.
∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.
观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.
【答案】 (2)3或1
方法归纳
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解析：(1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图像是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．
题型二 求函数的解析式 [经典例题]
例2 根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f＝，求f(x)；
(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．
【解析】 (1)设t＝，则x＝(t≠0)，代入f＝，得f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠0且x≠±1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x－3.
(1)换元法：设＝t，注意新元的范围．
(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.
跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2
＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)
(2)2x－或－2x＋1
(1)换元法
设x2＋2＝t.
(2)待定系数法
设f(x)＝ax＋b.
题型三 求分段函数的函数值 [经典例题]
例3 (1)设f(x)＝则f＝( )
A. B.
C．－ D.
(2)已知f(n)＝则f(8)＝________.
【解析】 (1)∵f＝－2＝－，
∴f＝f＝＝，故选B.
(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，
即f(8)＝f(f(13))．
因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，
故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
【答案】 (1)B (2)7
判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练3 已知f(x)＝
求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
根据不同的取值代入不同的解析式．
题型四 函数图像[教材P87例6]
例4 已知函数y＝，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像．
【解析】 函数的定义域为[0，＋∞)．由y＝在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，＋∞)．
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如图所示．
函数图像可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域.
教材反思
(1)画一次函数图像时，只需取两点，两点定直线．
(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，确定抛物线的开口方向(a>0开口向上，a<0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．
(3)对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．
跟踪训练4 作出下列函数的图像：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3；
(3)y＝|1－x|.
解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．
(2)由于0≤x<3，故函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．
(3)因为y＝|1－x|＝故其图像是由两条射线组成的折线，如图(c)．
(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图像)．
(3)关键是根据x的取值去绝对值．
解题思想方法 数形结合利用图像求分段函数的最值
例 求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【解析】 y＝|x＋1|＋|x－1|＝
作出函数图像如图所示：
由图像可知，x∈[－1,1]时，ymin＝2.
【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．
课时作业 16
一、选择题
1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C错．
答案：C
2．已知f(x－1)＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝1＋x
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝.
答案：C
3．函数y＝的图像的大致形状是( )
解析：因为y＝＝所以函数的图像为选项A.
答案：A
4．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．
答案：A
二、填空题
5．f(x)＝的定义域为______，值域为______．
解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．
当x∈(1,2]时，f(x)∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．
答案：[0,2] [0,1]
6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
7．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.
解析：∵f(x)－f(－x)＝2x，
∴
得
相加得f(2)＝4，f(2)＝.
答案：
三、解答题
8．某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
解析：(1)列表法
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
(2)图像法：如下图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}．
9．求下列函数解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)；
(2)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．
解析：(1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
[尖子生题库]
10．画出下列函数的图像：
(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；
(2)f(x)＝|x＋2|.
解析：(1)f(x)＝[x]＝函数图像如图1所示．
图1 图2
(2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图像，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图像，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．
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