1、33函数的应用(一)最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点一几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ybk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：ya2a0知识点二数学建模建模示例：1.发现问题，提出问题2分析问题，建立模型3确定参数，计算求解4验证结果，改进模型建立函数模型解决实际问题的基本思路基础自测1某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副 B400副C600副 D800副解析：利润z10xy10x(5x4 000)0.解得
2、x800.答案：D2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图像是()解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.答案：C3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606万元 B45.6万元C45.56万元 D45.51万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润SL1L2，则总利润S
3、5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)20.1510.2230(0x15且xN)，所以当x10时，Smax45.6(万元)答案：B4某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为_解析：令y60，若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x400，即x10，则y(10x)(10010x)8(10010x)(2x)(10010x)10(x4)2360(0x10，xN)当x4时，y取得最大值，此时销售单价应为14
4、元，最大利润为360元答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元.可根据实际问题建立二次函数模型解析式方法归纳1利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：(1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数2二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题跟踪训练1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以1
5、20 km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程解析：因为火车匀速行驶的总时间为(27713)120 (h)，所以0t.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s13120t.离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2(h)，此时火车行驶的路程s13120233(km)求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型题型二分段函数教材P117例1例2为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价
6、与户年用水量的关系如下表所示.分档户年用水量/m3综合用水单价/(元/m3)第一阶梯0220(含)3.45第二阶梯220300(含)4.83第三阶梯300以上5.83记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元(1)写出f(x)的解析式；(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260 m3，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？【解析】(1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且：当0x220时，有f(x)3.45x；当220300时，有f(x)2203.45(300220)4.83(x300)5.835.83x603.6.因此f(x)(2)因为2200，解得x2.3.因为xN*，所
7、以x3，所以3x6，xN*.当x6时，y503(x6)x115.令503(x6)x1150，得3x268x1150.解得2x20，又xN*，所以6x20，xN*，故y定义域为x|3x20，xN*(2)对于y50x115(3x6，xN*)，显然当x6时，ymax185，对于y3x268x11532(6185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可课时作业 20一、选择题1向一杯子中匀速注水
8、时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t)的图像如图所示，则杯子的形状是()解析：从题图中看出，在时间段0，t1，t1，t2内水面高度是匀速上升的，在0，t1上升慢，在t1，t2上升快，故选A.答案：A2据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000，xN*)By0.3x1 600(0x2 000，xN*)Cy0.3x800(0x2 000，xN*)Dy0.3x1 600(0x2 000，xN*)解析：由题
9、意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.5x1 6000.8 x0.3x1 600(0x2 000，xN*)答案：D3某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A7B8C9 D10解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10)，配方可得y6(k9)2864，当k9时，获得利润最大答案：C4已知A，B两地相距150千米，某人开汽
10、车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是()Ax60tBx60t50tCxDx解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选D.答案：D二、填空题5某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2018年预计经营总收入为_万元解析：设年增长率为x，则有(1x)21 690，1x，因此2018年预计经营总收
11、入为1 300(万元)答案：1 3006生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析：利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：187根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60
12、代入15得A16.答案：6016三、解答题8某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：(1)求y与x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解析：(1)由图像知，可设ykxb，x0,200时，过点(0，1 000)和(200,1 000)，解得k10，b1 000，从而y10x1 000；x(200,300时，过点(200,500)和(300,2 000)，解得k15，b2 500，从而y15x2 500，所以y(2)每天的盈利额超过1 000元，则x(200,300，由15x2 5001 000得，x
13、，故每天至少需要卖出234张门票9某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解析：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040020 00025 000.当x300时，f(x)的最
14、大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元尖子生题库10某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆(2)设每辆车的月租金为x元(x3 000)，租赁公司的月收益为y元，则yx50150162x21 000(x4 050)2307 050，当x4 050时，ymax307 050.所以当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元- 9 -
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