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第九章 统计
[A 基础达标]
1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )
A．1 030名 B．97名
C．950名 D．970名
解析：选D.由题意，知该中学共有女生2 000×＝970(名)，故选D.
2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9
[23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12
[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5] 3
则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知，样本量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝.
3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85，85，85 B．87，85，86
C．87，85，85 D．87，85，90
解析：选C.因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为85，中位数为85，平均数为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
4．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为 ( )
A．6万元 B．8万元
C．10万元 D．12万元
解析：选C.设11时至12时的销售额为x万元，由于频率分布直方图中各小组的组距相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为＝，
所以有＝，解得x＝10，故选C.
5．某学校举行的运动会上，七位评委为某位体操选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，4
解析：选C.最高分是93分，最低分是79分，所剩数据的平均数为＝80＋＝85，方差为s2＝×[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故选C.
6．12，13，25，26，28，31，32，40的25%分位数为________，80%分位数为________．
解析：因为8×25%＝2，8×80%＝6.4.所以25%分位数为＝＝19，80%分位数为x7＝32.
答案：19 32
7．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________mm.
解析：根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75 mm.
答案：22.75
8．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．
解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．
答案：37 770
9．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
1
[50，60)
4
0.08
2
[60，70)
8
0.16
3
[70，80)
10
0.20
4
[80，90)
16
0.32
5
[90，100]
合计
(1)填充频率分布表中的空格；
(2)如图，不具体计算，补全频率分布直方图；
(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解：(1)＝50，即样本量为50.
第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，
从而第5组的频率为＝0.24.
又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12，0.24，50，1.
(2)根据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h1，第二个小长方形的高为h2，第五个小长方形的高为h5.
由等量关系得＝，＝，补全的频率分布直方图如图所示．
(3)50名学生竞赛的平均成绩为
＝＝79.8≈80(分)．
利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．
[B 能力提升]
10．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是________．
解析：众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.
答案：115
11．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．
(1)频率分布直方图中x的值为________；
(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，估计新生中可以申请住校的学生有________名．
解析：(1)由频率分布直方图，可得20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.012 5.
(2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校．
答案：(1)0.012 5 (2)144
12．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
表(一)
使用者
年龄段
25岁
以下
26岁～
35岁
36岁～
45岁
45岁
以上
人数
20
40
10
10
表(二)
使用
频率
0～6
次/月
7～14
次/月
15～22
次/月
23～31
次/月
人数
5
10
20
5
表(三)
满意度
非常满意
(9～10)
满意
(8～9)
一般
(7～8)
不满意
(6～7)
人数
15
10
10
5
(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：
(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．
解：(1)
(2)由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，某城区30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×＝15(万人)；又年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的，用样本估计总体的思想可知，年龄在26岁～35岁之间15万人中每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×＝(万人)，所以年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次之间的人数约为万人．
[C 拓展探索]
13．某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：
40．02 40.00 39.98 40.00 39.99
40．00 39.98 40.01 39.98 39.99
40．00 39.99 39.95 40.01 40.02
39．98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率
[39.95，39.97)
[39.97，39.99)
[39.99，40.01)
[40.01，40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数．
解：(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[39.95，39.97)
2
0.10
5
[39.97，39.99)
4
0.20
10
[39.99，40.01)
10
0.50
25
[40.01，40.03]
4
0.20
10
合计
20
1
频率分布直方图：
(2)因为抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为×100%＝90%，
所以10 000×90%＝9 000(只)．
即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为9 000只．
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