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3.1.3 函数的奇偶性
最新课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
知识点 偶、奇函数
1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．
3．奇、偶函数的图像特征
(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图像关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
[基础自测]
1．设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(x)·f(－x)<0 D．f(0)＝0
解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，
所以f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．
f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
f(0)＝0不一定成立．故选B.
答案：B
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )
A．－2 B．2
C．0 D．不能确定
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
答案：B
4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
答案：(2)(4) (1)(3)
题型一 函数奇偶性的判断[教材P102例1]
例1 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
【解析】 (1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．
(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，
因此函数f(－x)＝－x＋1既不是偶函数也不是奇函数．
(4)因为函数的定义域为[－1,3]，而3∈[－1,3]，但－3∉[－1,3]，所以函数f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数.
教材反思
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．
即有－1≤x≤1且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．
题型二 函数奇偶性的图像特征[经典例题]
例2 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是________．
【解析】 由奇函数的性质知，其图像关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图像如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．
【答案】 {x|－2<x<0或2<x≤5}
根据奇函数的图像关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．
方法归纳
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
跟踪训练2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小．
解析：方法一 因函数f(x)是偶函数，
所以其图像关于y轴对称，补全图如图．
由图像可知f(1)<f(3)．
方法二 由图像可知f(－1)<f(－3)．
又函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(1)<f(3)．
方法一是利用偶函数补全图像，再比较f(1)与f(3)的大小；
方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图像判断大小．
题型三 利用函数奇偶性求参数[经典例题]
例3 (1)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；
(2)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
整理得a＝－1.
(2)(特值法) 由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，
整理得a－1＝0，解得a＝1.
【答案】 (1)－1 (2)1
利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．
方法归纳
由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.
解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0.
(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，
所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.
即2ax2＝0，所以a＝0.
答案：(1) 0 (2)0
(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0,0)对称．
(2)f(0)＝0？
题型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]
例4 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)，在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
【解析】 ∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0可化为f(1－x)<－f(1－3x)，
即f(1－x)<f(3x－1)．
又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴f(1－x)<f(3x－1)⇔⇔⇔
∴0<x<.即不等式解集为.
1.由奇函数得f(－x)＝－f(x)．
2．函数单调递减，若f(x1)<f(x2)得x1>x2.
3．定义域易忽略.
方法归纳
1．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练4 (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．
又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
(1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．
(2)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．
课时作业 18
一、选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝－x的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
答案：C
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
答案：A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 019)＝k，则f(－2 019)＝( )
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
解析：∵f(2 019)＝a·2 0193＋b·2 019＋1＝k，∴a·2 0193＋b·2 019＝k－1，则f(－2 019)＝a(－2 019)3＋b·(－2 019)＋1＝－[a·2 0193＋b·2 019]＋1＝2－k.
答案：D
二、填空题
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为____________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，∴x>或－<x<0.
答案：
三、解答题
8．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
解析：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图像进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝
画出图像如图所示，图像关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
9．已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解析：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，
g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－－＝
∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，
从而<0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图像如图：
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