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第1课时 函数的概念
最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
知识点一 函数的概念
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
对函数概念的3点说明
(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二 同一函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
[基础自测]
1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
答案：A
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)
解析：使函数f(x)＝有意义，
则即x≥1，且x≠2.
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.
答案：D
3．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
4．若函数f(x)＝＋，求f(4)＝________.
解析：f(4)＝＋＝2＋2＝4.
答案：4
题型一 函数的定义[经典例题]
例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；
(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；
(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.
【解析】 对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.
1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．
2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．
方法归纳
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意] A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
(2)下列对应是否是函数？
①x→，x≠0，x∈R；
②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.
解析：(1)
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义．
②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．
答案：(1)B (2)①是函数②不是函数
(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.
(2)关键是否符合函数定义．
题型二 求函数的定义域[教材P83例1]
例2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；(2)g(x)＝＋.
【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当
解得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．
(2)因为函数有意义当且仅当
解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞).
教材反思
求函数的定义域
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－＋.
解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则
解得x<0且x≠－1.
所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．
(3)要使函数有意义，则
解得－≤x<2，且x≠0.
故定义域为∪(0,2)．
(1)分母不为0
(2)
(3)
题型三 同一函数[教材P66例3]
例3 下面各组函数中为相同函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x－1
B．f(x)＝，g(x)＝·
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x0与g(x)＝
【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)＝|x－1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.
【答案】 D
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．
(1)f(x)＝，g(x)＝x－1；
(2)f(x)＝，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝.
解析：
序号
是否相同
原因
(1)
不同
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2)
不同
对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝
(3)
不同
定义域相同，对应关系不同
(4)
相同
定义域和对应关系相同
判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
题型四 求函数的值域[经典例题]
例4 求下列函数的值域．
(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]．
(2)y＝.
(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}．
(4)y＝x2－4x＋5.
【解析】 (1)因为－1<x≤3，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，
所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．
(2)因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}．
(3)函数的定义域为{1,2,3}，
当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，
当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，
当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，
所以这个函数的值域为{1,2}，
(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，
所以这个函数的值域为[1，＋∞)．
(1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．
(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．
(3)将自变量x＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域．
(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.
方法归纳
求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
跟踪训练4 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝；
(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．
解析：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)因为≥0，所以＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(3)因为y＝＝－1＋，
所以函数的定义域为R，
因为x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1]．
(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
因为－5≤x≤－2，
所以－4≤x＋1≤－1.
所以1≤(x＋1)2≤16.
所以－12≤4－(x＋1)2≤3.
所以所求函数的值域为[－12,3]．
(3)先分离再求值域
(4)配方法求值域
课时作业 15
一、选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图像的是( )
解析：对于1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数．
答案：A
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A.
B.∪
C.
D.
解析：由题意得解得－3≤x<且x≠－，故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．不确定
解析：因为函数f(x)＝－1，所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.故选B.
答案：B
4．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．f(x)＝x－2，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝1
C．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1
D．f(x)＝，g(x)＝
解析：选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．
答案：C
二、填空题
5．已知函数f(x)＝，求f(2)＝________.
解析：f(2)＝＝2.
答案：2
6．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
解析：由f(x)的图像可知 －5≤x≤5，－2≤y≤3.
答案：[－5,5] [－2,3]
7．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.
解析：由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，
得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，
∴A∩B＝[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
三、解答题
8．(1)求下列函数的定义域：
①y＝；
②y＝；
③y＝＋－；
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．
②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.
故函数的定义域为{x|x<0}．
③解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．
(2)设矩形一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，函数的定义域为⇒0<x<，定义域为.
9．求下列各函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；
(2)y＝x2－4x＋6；
(3)y＝x＋.
解析：(1)因为当x分别取2,3,4,5,6时，y＝x＋1分别取3,4,5,6,7，
所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．
(2)函数的定义域为R.
因为y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
所以该函数的值域为[2，＋∞)．
(3)设t＝，则x＝，且t≥0.
问题转化为求y＝＋t(t≥0)的值域．
因为y＝＋t＝(t＋1)2(t≥0)，
所以y的取值范围为.
故该函数的值域为.
[尖子生题库]
10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．
解析：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．
(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．
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