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课时作业40 分层随机抽样与获取数据的途径
知识点一 分层随机抽样的概念
1.某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
答案 C
解析 由于老年人、中年人和青年人的身体情况会有明显的差异，所以要用分层随机抽样，故选C.
2．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
答案 B
解析 A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．
3．为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求( )
A．每层不等可能抽样
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝(i＝1,2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
答案 C
解析 A不正确；由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确；D不正确.
知识点二 分层随机抽样的应用
4.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用比例分配的分层随机抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 A
解析 设从高三学生中抽取x人，则＝，得x＝10.
5．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本量n为________．
答案 88
解析 依题意，得＝，所以＝，解得n＝88，所以样本量为88.
知识点三 分层随机抽样的综合应用
6.某校高一年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试．学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．
(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数；
(2)假设随机抽取300名学生，按照比例分配的分层随机抽样的方法，试估计高一年级本次测试成绩的平均数．
解 (1)由题意并结合扇形统计图，可知男生共有1000×60%＝600(名)，女生有1000×40%＝400(名)．由成绩平均数条形图可得，该校高一年级学生本次测试成绩的平均数＝(80×600＋82.5×400)÷1000＝81.
(2)随机抽取300名学生，采用比例分配的分层随机抽样的方法，则男生样本数为300×＝180，女生样本数为300×＝120.故样本平均数为(180×80＋120×82.5)÷300＝81.根据样本平均数来估计总体平均数，可得高一年级本次测试成绩的平均数为81.
知识点四 获取数据的途径
7.为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案：
学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登陆网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量；
学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量；
学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量．
请问：这三位同学设计的方案中哪一个较合理？你有何建议？
解 学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量．
学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量．
学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据．用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果.
易错点 忽略抽样的公平性致错
8.某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女比例分配的分层随机抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．
易错分析 一定要牢记比例分配的分层随机抽样的抽样特点，列出比例式即可．易错点是所列比例式中“＝”两边标准不同．
答案 560
正解 设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x.
抽样比例为＝，
∵女生比男生少抽了10人，
∴x＝(1200－x)－10，解得x＝560.
所以该年级的女生人数是560.
一、选择题
1．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )
A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
答案 B
解析 设抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为a，b，c，则＝＝＝，解得a＝3，b＝9，c＝18.
2．某校有1700名高一学生，1400名高二学生，1100名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是( )
A．高一学生被抽到的概率最大
B．高三学生被抽到的概率最大
C．高三学生被抽到的概率最小
D．每名学生被抽到的概率相等
答案 D
解析 无论采用哪种抽样，每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率相等．故选D.
3．从某地区15000位老人中按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示．
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A．60 B．100 C．1500 D．2000
答案 A
解析 由比例分配的分层随机抽样方法知所求人数为×15000＝60.
4．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为( )
类别
人数
老年人
15
中年人
？
青年人
40
A．9 B．8 C．6 D．3
答案 C
解析 设该单位的中年人的人数为x，则由表，可知＝，解得x＝30.因此在抽取的17人中，抽到中年人的人数为30×＝6，故选C.
5．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下图：
数据x
70<x<79
80<x<89
90<x<99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为( )
A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97
答案 B
解析 这3000个数的平均数为
＝85.23，于是用样本的平均数去估计总体平均数，则这4万个数据的平均数约为85.23.
二、填空题
6．一工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品．
答案 5600
解析 设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品，则a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即＝＝.又2b＝a＋c，所以所以T乙＝＝5600.
7．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，200个，采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为45的样本，其中C种零件抽取了10个，则此三种零件共有________个．
答案 900
解析 抽样比为＝，则总数为45×20＝900.
8．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据比例分配的分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本量
130
由于不小心，表格中A，C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
答案 800
解析 抽样比为130∶1300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本量比C产品的样本量多10，故C产品的数量是[(3000－1300)－100]×＝800(件)．
三、解答题
9．某班班长就全班同学的学习习惯进行了一次普查，他向同学询问了以下三个问题：
(1)你每天有多少时间来写作业？
(2)你上课认真听讲吗？
(3)你抄袭其他同学的作业吗？
说说他设计的这三个问题有什么不足之处．
解 (1)每天写作业的时间不一定相同，这个问题应该问平均时间．
(2)上课时走神是很多人都会有的习惯，只是程度不同，宜设计为选择题，选择设置为一直认真听讲、偶尔走神、经常走神．
(3)抄袭作业是不好的习惯，很多人不愿意直面回答，调查问卷应该设计为不记名问卷．
10．某学校有在职人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了了解他们对学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．
解 因为总体分成三层：行政人员、教师、后勤人员，故选用比例分配的分层随机抽样方法．抽样过程如下：
第一步，确定抽样比：样本量与总体容量的比为＝.
第二步，确定三类人员中抽取的人数：
行政人员中抽取16×＝2(人)，
教师中抽取112×＝14(人)，
后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，在各层中，分别用简单随机抽样抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成样本．
11．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用比例分配的分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解 (1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，
＝10%.解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
12．某商场打算在开业一周年之际对顾客进行问卷调查(内容包括：职员的服务态度、商品的质量、商品的价格、商品的种类、售后服务、商场的环境等)，以了解顾客的要求，进一步提高服务质量，促进商场的发展．请代拟一份调查问卷．
解 调查问卷设计如下：
姓名________ 工作单位________
住址________ 联系电话________
为了了解您的要求，进一步提高我们的服务质量，请回答以下问题．
(1)您认为我们职员的服务态度( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差 E．很差
(2)您认为我们商场的商品质量( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差 E．很差
(3)您认为我们商场的商品种类( )
A．很全 B．一般 C．不全
(4)您认为我们商场的商品价格和其他商场的同类商品相比( )
A．较高 B．差不多 C．较低
(5)您在我们商场所买商品的售后服务( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差
(6)您认为我们商场的环境( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差
(7)您在我们商场所买的商品质量最好的是哪类商品________．
(8)您在我们商场所买的商品中售后服务最好的是哪类商品________．
(9)您经常光顾我们的商场吗？A.是 B．否
(10)您打算以后经常光顾我们的商场吗？A.是 B．否
(11)您对我们商场今后的发展有什么好的意见或建议？________.
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