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课时素养评价
二十八 函数的应用(一)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b<a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离s与时间t的函数关系图像大致为 ( )
【解析】选C.由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升.由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线又上升.
【加练·固】
明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是 ( )
【解析】选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.
2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解析】选C.若4x=60，则x=15>10，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不合题意.故拟录用25人.
3.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20 %；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20 %，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是 ( )
A.不亏不盈 B.赚23.68元
C.赚47.32元 D.亏23.68元
【解析】选D.设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1+20 %)2=92.16，y(1-20 %)2=92.16，所以x=64，y=144，64+144-92.16×2=23.68.
4.已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是 ( )
A.x=60t
B.x=60t+50
C.x=
D.x=
【解析】选D.从A地到B地的来回时间分别为：=2.5，=3，
所以x=
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q-Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
【解析】L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000
=-Q2+30Q-2 000
=-(Q-300)2+2 500，
当Q=300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
答案：2 500
6.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y=f(x)的解析式为________.
【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y=f(x)=
答案：y=f(x)=
三、解答题(共26分)
7.(12分)某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：
y=
(1)当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.
(2)当400≤x≤600时，由1.25x+1 000=750，得x=-200(舍去).
综合(1)和(2)，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.
答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
8.(14分)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75 %，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【解析】(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100，300]，n=kx+b(k<0)，因为0=300k+b，即b=-300k，所以n=k(x-300).
所以利润y=(x-100)k(x-300)=k(x-200)2-10 000k(x∈(100，300])，
因为k<0，所以x=200时，ymax=-10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得k(x-100)(x-300)=-10 000k·75 %，
整理，得x2-400x+37 500=0，解得x=250或x=150，
所以，商场要获得最大利润的75 %，每件标价为250元或150元.
(15分钟·30分)
1.(4分)某工厂2017年的产量为A，2018年的增长率为a，2019年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有 ( )
A.x=(a+b) B.x≤(a+b)
C.x>(a+b) D.x≥(a+b)
【解析】选B.由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，所以x≤(a+b).
2.(4分)某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元.则这两筐椰子原来的总个数为 ( )
A.180 B.160 C.140 D.120
【解析】选D.设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则解得故这两筐椰子原来共有120个.
3.(4分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车运营的利润y与运营年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有运营利润的时间不超过________年.
【解析】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，所以0<x<10，即有运营利润的时间不超过10年.
答案：10
4.(4分)长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时面积最大，此时x=______，最大面积S=______.
【解析】S=(4+x)=-+x+12
=-(x-1)2，当x=1时，Smax=.
答案：1
5.(14分)一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义.
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像.
【解析】(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.
(2)根据图像，有s=
这个函数的图像如图所示.
1.某商人将彩电先按原价提高40 %，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
【解析】设彩电的原价为a元，所以a(1+0.4)·80 %-a=270，所以0.12a=270，解得a=2 250.所以每台彩电的原价为2 250元.
答案：2 250
2.已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每
年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1 %时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
【解析】设重组后，该企业年利润为y万元.
当待岗人员不超过1%时由1->0，x≤2 000×1%=20得<x≤20(x∈N)，
则y=(2 000-x)-0.5x
=-5+9 000.64；
当待岗人员超过1%且不超过5%时，
由20<x≤2 000×5%，得20<x≤100(x∈N)，
则y=(2 000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x+8 800.
故y=
当<x≤20且x∈N时有x+≥2=32，
则y=-5+9 000.64
≤-5×32+9 000.64=8 840.64，
当且仅当x=，即x=16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；当20<x≤100且x∈N时，函数y=-4.9x+8 800为减函数.
所以y<-4.9×20+8 800=8 702.
又8 840.64>8 702，
故当x=16时，y有最大值8 840.64.
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗.
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