资源描述
5.3.3 古典概型
课后篇巩固提升
夯实基础
1.现有三张识字卡片,分别写有“中”“国”“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
答案D
解析把这三张卡片排序有“中国梦”“中梦国”“国中梦”“国梦中”“梦中国”“梦国中”6种情况,其中能组成“中国梦”的只有1种,故所求概率为16.故选D.
2.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A.12 B.310 C.720 D.710
答案B
解析设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个基本事件,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个基本事件,所以P(A)=620=310.故选B.
3.
如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处;若在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是( )
A.12 B.14 C.316 D.16
答案C
解析按规则,小青蛙跳动一次,可能的结果共有4种,跳动三次,可能的结果共有16种,而三次跳动后首次跳到5的只有3—1—3—5,3—2—3—5,3—4—3—5三种可能,所以它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是316.
4.
从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )
A.513 B.613 C.713 D.813
答案B
解析这13个数据落在[499,501]内的个数为6,故所求概率为613.故选B.
5.(多选)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以710为概率的事件是( )
A.恰有一件一等品 B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品 D.至少有一件二等品
答案CD
解析将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有1件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=35.恰有2件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有2件一等品的概率为P2=310,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-310=710.至少有一件二等品的取法(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),故至少有一件二等品的概率为P4=710.
6.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.316 B.29 C.718 D.49
答案D
解析由题意知本题是一个古典概型.
所有基本事件的个数为6×6=36.满足条件的基本事件有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16个.
所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49.
故选D.
7.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 .
答案1112
解析由题意知,基本事件共有6×6=36(个).
若方程有实根,则Δ=(m+n)2-16≥0,即m+n≥4,其对立事件为m+n<4,包含(1,1),(1,2),(2,1)3个基本事件,故所求概率为P=1-336=1112.
8.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .
答案18 12
解析基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8个,“恰好3枚正面都朝上”包含1个基本事件,其概率P1=18,“至少有2枚反面朝上”包含4个基本事件,其概率P2=48=12.
9.现有8名马拉松比赛志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓英语,从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求样本空间Ω;
(2)求A1被选中的概率;
(3)求B1和C1不全被选中的概率.
解(1)样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个样本点.
(2)用M表示“A1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},含有6个样本点,所以A1被选中的概率P(M)=618=13.
(3)用N表示“B1和C1不全被选中”,则N表示“B1和C1全被选中”,因为N={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},含有3个样本点,所以B1和C1不全被选中的概率P(N)=1-318=56.
10.交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:T∈[0,2),畅通;T∈[2,4),基本畅通;T∈[4,6),轻度拥堵;T∈[6,8),中度拥堵;T∈[8,10],严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
解(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中,
轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),
中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),
严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).
(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段中抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6=2,618×9=3,618×3=1,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1,A2,抽取的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,抽取的1个严重拥堵路段为C1,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915=35.
能力提升
1.有5根细木棒,长度分别为1,3,5,7,9(单位:cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率是( )
A.320 B.310 C.15 D.25
答案B
解析从长度分别为1,3,5,7,9的5根细木棒中任取3根,共有(1,3,5)、(1,3,7)、(1,3,9)、(1,5,7)、(1,5,9)、(1,7,9)、(3,5,7)、(3,5,9)、(3,7,9)、(5,7,9)10种情况,而能构成三角形的只有(3,5,7)、(3,7,9)、(5,7,9)这3种,故所求概率为310.
2.在一不透明袋子中装着标号为1,2,3,4,5,6的六个(质地、大小、颜色无差别)小球,现从袋子中有放回地随机摸出两个小球,并记录标号,则两标号之和为9的概率是( )
A.19 B.111 C.29 D.421
答案A
解析有放回地摸出两个小球共有6×6=36(种)情况,用(a,b)表示两次取出的数字编号,标号之和为9有:(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)四种情况,
所以所求概率P=436=19,故选A.
3.若从集合A={-2,1,2}中随机取一个数a,从集合B={-1,1,3}中随机取一个数b,则直线ax-y+b=0一定经过第四象限的概率为( )
A.29 B.13 C.49 D.59
答案D
解析由题意,从集合A={-2,1,2}中随机取一个数a,从集合B={-1,1,3}中随机取一个数b,得到(a,b)的取值的所有可能结果有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(1,-1),(1,1),(1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种结果,
直线ax-y+b=0,即y=ax+b,当a≥0,b≥0时,直线不过第四象限,共有(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)4种结果,所以当直线ax-y+b=0一定经过第四象限时,共有5种结果,所以所求概率为P=59,故选D.
4.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,利用计算机产生10组0到9之间取整数值的随机数如下,我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,这三天中恰有两天下雨的概率约为 .
907 966 191 925 271 935 812 458 569 683
答案30%
解析满足要求的数有191,271,812,共3个,故三天中恰有两天下雨的概率约为310=30%.
5.为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召n名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45].得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有70人.
(1)求该组织的人数;
(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.
解(1)由题意得70=5×0.07·n,解得n=200,
故该组织有200人.
(2)第3组的人数为0.06×5×200=60,
第4组的人数为0.04×5×200=40,
第5组的人数为0.02×5×200=20.
所以第3,4,5组共有120名志愿者,
所以从第3,4,5组抽取的人数分别为6120×60=3,6120×40=2,6120×20=1.
记从第3组抽取的3名志愿者为A1,A2,A3,从第4组抽取的2名志愿者为B1,B2,从第5组抽取的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共15个.
其中第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共12个,
所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1215=45.
6.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如表:
销售点
序号
所属
城市
小麦价格/
(元/吨)
销售点
序号
所属
城市
小麦价格/
(元/吨)
1
A
2 420
10
B
2 500
2
C
2 580
11
A
2 460
3
C
2 470
12
A
2 460
4
C
2 540
13
A
2 500
5
A
2 430
14
B
2 500
6
C
2 400
15
B
2 450
7
A
2 440
16
B
2 460
8
B
2 500
17
A
2 460
9
A
2 440
18
A
2 540
(1)求B市5个销售点小麦价格的中位数;
(2)甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,求甲花费的费用比乙高的概率;
(3)如果一个城市的销售点小麦价格的方差越大,则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序(只写出结果).
解(1)B市一共有5个销售点,价格分别为2500,2500,2500,2450,2460,按照价格从低到高排列为2450,2460,2500,2500,2500,
所以B市5个销售点小麦价格的中位数为2500.
(2)记事件“甲的费用比乙高”为A.
B市5个销售点的价格按从低到高排列为2450,2460,2500,2500,2500,
C市4个销售点的价格按从低到高排列为2400,2470,2540,2580.
甲、乙购买小麦花费费用的组合有(2450,2400),(2460,2400),(2500,2400),(2500,2400),(2500,2400),(2450,2470),(2460,2470),(2500,2470),(2500,2470),(2500,2470),(2450,2540),(2460,2540),(2500,2540),(2500,2540),(2500,2540),(2450,2580),(2460,2580),(2500,2580),(2500,2580),(2500,2580),共20组,其中满足甲的费用高于乙的费用的组合有(2450,2400),(2460,2400),(2500,2400),(2500,2400),(2500,2400),(2500,2470),(2500,2470),(2500,2470),共8组.所以甲花费的费用比乙高的概率为P(A)=820=25.
(3)三个城市按照价格差异性从大到小排列为C,A,B.
7.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
解(1)从袋中随机抽取两个球共有15种取法,
取出球的编号之和为6的有(1,5),(2,4),共2种取法,故所求概率P=215.
(2)先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法,
两次取的球的编号之和大于5的有(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共26种取法,
故所求概率P=2636=1318.
8.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
解(1)平均数的估计值x=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,
则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.
(2)①样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人共有如下15个基本事件:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件:(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,
故所求概率P(A)=915=35.
②样本中年龄在18岁以上的居民所占频率约为1-(18-10)×0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760.
11
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
