1、2.2.3一元二次不等式的解法最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系000)的图像ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程ax2bxc0的解；画出对应
2、函数yax2bxc的图像简图；由图像得出不等式的解集对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则xq或xp；若(xp)(xq)0，则pxq.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”基础自测1下列不等式中是一元二次不等式的是()Aa2x220 B.0解析：选项A中，a20时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合答案：C2不等式x(x1)0的解集为()A1，) B1,0)C(，1 D1,0解析：解不等式得1x0，故选D.答案：D3函数y的定义域为()A7,1 B(7
3、,1)C(，71，) D(，7)(1，)解析：由76xx20，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x0的解集(2)求不等式x26x10的解集(3)求不等式x22x10，因此所求解集为(，1)(2，)(2)因为x26x1x26x991(x3)210，所以原不等式可化为(x3)2100，即(x3)210，两边开平方得|x3|，从而可知x3，因此3x3，所以不等式的解集为3，3(3)原不等式可化为x22x10，又因为x22x1(x1)2，所以上述不等式可化为(x1)20.注意到只要x1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(，1)(1，).教材反思我们以求解可化成ax2bxc0(a0)形式的
4、不等式为例，用框图表示其求解过程跟踪训练1解下列不等式：(1)x27x120；(2)x22x30；(3)x22x10；(4)2x23x20的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0，故原不等式的解集为.方法归纳一元二次不等式与其对应的
5、函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系(2)若一元二次不等式的解集为R或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围跟踪训练2已知一元二次不等式x2pxq0的解集解析：因为x2pxq0即为x2x10，整理得x2x60，解得2x0的解集为x|2x0.【解析】对于方程2x2ax20，其判别式a216(a4)(a4)当a4或a0，方程2x2ax20的两根为x1(
6、a)，x2(a)原不等式的解集为.当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当4a4时，0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集跟踪训练3解关于x的不等式x2(aa2)xa30.解析：原不等式可变形为(xa)(xa2)0，则方程(xa)(xa2)0的两个根为x1a，x2a2，(1)当a0时，有aa2，xa2，此时原不等式的解集为x|xa2；(2)当0aa2，即xa，此时原不等式的解集为x|xa；(3)当a1时，有a2a，即xa2，此时原不等
7、式的解集为x|xa2；(4)当a0时，有x0；原不等式的解集为x|xR且x0；(5)当a1时，有x1，此时原不等式的解集为x|xR且x1；综上可知：当a1时，原不等式的解集为x|xa2；当0a1时，原不等式的解集为x|xa；当a0时，原不等式的解集为x|xR且x0；当a1时，原不等式的解集为x|xR且x1题型四一元二次不等式的实际应用经典例题例4某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本固定成本生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应
8、控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】(1)依题意得g(x)x3，设利润函数为f(x)，则f(x)r(x)g(x)，所以f(x)要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0或或或则3x7或7x10.5，即3x10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内(2)当3x7时，f(x)0.5(x6)24.5，故当x6时，f(x)有最大值4.5，而当x7时，f(x)10.573.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)解不等式f(x)0回答实际问题(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值回答实际问题方法归纳解不
9、等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系(3)求：解不等式(4)答：回答实际问题特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”跟踪训练4某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解析：(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收
10、购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)依题意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原计划税收为200a10%20a(万元)依题意得，a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范围是x|0x2根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划降税后价格(元/担)200200税率10%(10x)%(0x0的解集为()A. B.C DR解析：因为(2)243180恒成立，即不等式3x22x10的解集为R.答案：D2设mn0，则关于x的不等式(mx)(nx)0的解集是()Ax|x
11、m Bx|nxmCx|xn Dx|mx0可化为(xm)(xn)0，得mn，则不等式(xm)(xn)0的解集是x|nx0的解集为，则a，c的值分别为()Aa6，c1 Ba6，c1Ca1，c1 Da1，c6解析：由题意知，方程ax25xc0的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1x2，x1x2.解得a6，c1.答案：B4若不等式x2mx0的解集为R，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的0，即m2410，即m22m0，解得0m2，故答案为D.答案：D二、填空题5不等式(2x5)(x3)0的解集为_解析：方程(2x5)(x3)
12、0的两根为x1，x23，函数y(2x5)(x3)的图像与x轴的交点坐标为(3,0)和，所以不等式(2x5)(x3)0的解集为.答案：6不等式0的解集为_解析：原不等式可以化为(2x1)(2x1)0，即0，故原不等式的解集为.答案：7用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，当长_ m，宽_ m时，所围成的矩形的面积最大解析：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50x)m,0x600，即x250x6000，解得20x30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形用S表示矩形的面积，则Sx(50x)(x25)26
13、25(0x0；(2)x23x50；(3)4(2x22x1)x(4x)解析：(1)x22x150(x5)(x3)0x3，所以不等式的解集是x|x3(2)因为(3)2415114xx2.原不等式等价于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.结合二次函数y9x212x4的图像知，原不等式的解集为.9若关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集解析：由题意知所以代入不等式cx2bxa0中得ax2axa0(a0)即x2x10，化简得x25x60，所以所求不等式的解集为x|3x2尖子生题库10解关于x的不等式x2ax2a20，则ax2a，此时不等式的解集为x|ax2a；(2)若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa；(3)若a0，则原不等式即为x20时，x|ax2a；当a0时，x|2axa；当a0时，.- 11 -
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