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课时跟踪检测（十八） 随机事件的独立性
A级——学考水平达标练
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立
解析：选C 因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但一定不互斥．
3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则表示( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：选C 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
4．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3，第3次拨号才接通电话可表示为12A3，显然，1，2，A3相互独立，所以P(12A3)＝××＝.
5．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
解析：设两个闹钟至少有一个准时响为事件A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
6．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．
解析：事件A与B同时发生的概率为p(1－p)＝p－p2＝－2＋(p∈[0,1])，当p＝时，最大值为.
答案：
7.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
∵不发生故障的事件为(A2＋A3)A1，
∴不发生故障的概率为P＝P[(A2＋A3)A1]
＝P(A2＋A3)·P(A1)＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.
8．在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为，乙同学选做《不等式选讲》的概率为，假定二人的选择相互之间没有影响，求这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率．
解：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B，且A，B相互独立．
依题意，P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，
所以所求概率为1－P(AB)＝1－＝.
9．甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()＝，
解得P()＝或P()＝－(舍去)，
故p＝1－P()＝，所以乙投球的命中率为.
(2)法一：由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1－P( )＝1－P()P()＝.
法二：由题设知，P(A)＝，P()＝，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P()＋P(A)P(A)＝.
B级——高考水平高分练
1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前1球投进则后1球投进的概率为，若他前1球投不进则后1球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意可得，他第2球投进的概率P＝×＋×＝.
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
3.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为__________．
解析：记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P()P()[1－P(AB)]＝××＝.∴灯亮的概率为1－＝.
答案：
4．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率．
解：设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为，，，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，
则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)法一：该选手被淘汰的概率：
P＝P(1＋A12＋A1A23＋A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)法一：P＝P(A12＋A1A23＋A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
法二：P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
6．已知A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有
P(A0)＝×＝，P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
所求概率为P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率为1－××＝.
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