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3.3 幂函数
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．幂函数图象一定过原点
B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．
答案：D
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1,3 B．－1,1
C．1,3 D．－1,1,3
解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.
答案：C
3．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是( )
解析：函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
答案：D
4．函数y＝x在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．
当x＝0时，y＝0，故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．
答案：A
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1<m<1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，
∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：α<0
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知＝α，∴α＝，
∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
三、解答题
8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解析：(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
9．比较下列各题中两个值的大小；
(1)2.3，2.4；
(2)() ，()；
(3)(－0.31)，0.35.
解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，
∴()>().
(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31) ＝0.31.
又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.
[尖子生题库]
10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2.
解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，
得解得1≤a<.
∴a的取值范围为.
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