资源描述
3.2.2 奇偶性
一、选择题
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
答案：A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 019)＝k，则f(－2 019)＝( )
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
解析：∵f(2 019)＝a·2 0193＋b·2 019＋1＝k，∴a·2 0193＋b·2 019＝k－1，则f(－2 019)＝a(－2 019)3＋b·(－2 019)＋1＝－[a·2 0193＋b·2 019]＋1＝2－k.
答案：D
二、填空题
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
答案：
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为____________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，∴x>或－<x<0.
答案：
三、解答题
8．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
解析：(1)∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图象进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝
画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
9．已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解析：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，
g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝1－－＝
∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，
从而<0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝
(2)图象如图：
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