资源描述
3.2.2 奇偶性
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案 B
解析 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.
2.函数f(x)＝－x的图象( )
A.关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C.关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
答案 C
解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，f(x)的图象关于坐标原点对称.
3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A. B. C. D．1
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为.
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
4.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A.1 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.
5.若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )
A.(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))
C.(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))
答案 D
解析 因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选D.
二、填空题
6.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2x－1)>f成立，则x的取值范围是________．
答案 －<x<
解析 由题可知f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)>f成立，则－<2x－1<，即－<x<.
7.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
答案 f(x)＝
解析 设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x，
又∵y＝f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
故f(x)＝
8.已知奇函数f(x)在R上单调递增，∀m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
答案
解析 因为奇函数f(x)在R上单调递增，所以由f(mx－2)＋f(x)<0，得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，所以(m＋1)x<2.当m＝－1时，不等式(m＋1)x<2恒成立；当－1<m≤2时，x<恒成立，则x<＝；当－2≤m<－1时，x>恒成立，此时<x，即－2<x.综上，x∈.
三、解答题
9.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求当x<0时，f(x)的解析式．
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.
又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，
∴当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.
10.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．
解 当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－.
B级：“四能”提升训练
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2020)的值．
解 ∵f(2－x)＋f(x－2)＝0，
令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0，
∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0.
又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0，
∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝0.
2.(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．
求证：f(x)为偶函数；
(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明 (1)令x1＝0，x2＝x，得
f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，
即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
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