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第2课时 函数奇偶性的应用
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x2
C．y＝－ D．y＝3x
答案 D
解析 A中，由函数y＝x＋1的图像知该函数不是奇函数．B中，函数y＝－x2是偶函数．C中，函数y＝－在其定义域内没有单调性．D中，函数y＝3x是奇函数，且在其定义域内是增函数，符合题意．故选D.
2．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，g(x)＝－x2－mx在(－∞，0)内单调递增，则实数m＝( )
A．－2 B．±2
C．0 D．2
答案 A
解析 由函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，得m2－4＝0.解得m＝±2.又当m＝2时，g(x)＝－x2－2x，该函数在(－∞，0)内不单调递增，故m≠2.当m＝－2时，g(x)＝－x2＋2x，该函数在(－∞，0)内单调递增．故选A.
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5.故选C.
4．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f<f(－1)<f(2)
B．f(－1)<f<f(2)
C．f(2)<f(－1)<f
D．f(2)<f<f(－1)
答案 D
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)<f<f(－1)，即f(2)<f<f(－1)．故选D.
5．设函数f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)等于( )
A．－x(1＋) B．x(1＋)
C．－x(1－) D．x(1－)
答案 D
解析 当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－)，又f(0)＝0，
∴x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(1－)．故选D.
二、填空题
6．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
答案 [－6，－3)∪(0,3)
解析 由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
7．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
答案 5
解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
8．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)．
答案 <
解析 f(a)＋f(b)>0，∴f(a)>－f(b)，∴f(a)>f(－b)，f(x)为减函数，∴a<－b，∴a＋b<0.
三、解答题
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.
(1)求f(－1)的值；
(2)当x<0时，求f(x)的解析式．
解 (1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1－4×1＝－3.
(2)若x<0，则－x>0，因为f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
(1)求b值；
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
解 (1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f(0)＝0，解得b＝0.
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，
因为f(m)＋f(m－1)>0，
所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)．
所以解得<m≤2.
故实数m的取值范围为.
B级：“四能”提升训练
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解 由题设知f(x)＝
则2f(x)＝f(x)，因此，原不等式等价于f(x＋a)≥f(x)．
因为f(x)在R上是增函数，所以x＋a≥x，即a≥(－1)x.
又x∈[a，a＋2]，所以当x＝a＋2时，(－1)x取得最大值(－1)(a＋2)，因此，a≥(－1)(a＋2)，解得a≥.故实数a的取值范围是[，＋∞)．
2．已知f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在[－2,4]上的最值．
解 (1)证明：由f(x)的定义域为R，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即0＝f(x)＋f(－x)，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－[f(x2)－f(x1)]
＝－[f(x2)＋f(－x1)]＝－f(x2－x1)．
因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0.
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在R上为减函数．
(3)因为f(－1)＝2，所以f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.
因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，
所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.
因为f(x)在[－2,4]上为减函数，
所以f(x)max＝f(－2)＝4，f(x)min＝f(4)＝－8.
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