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第1课时 函数的概念
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝
答案 A
解析 函数y＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x|x>0}；函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}；函数f(x)＝|x|的定义域为R；函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1}．所以与函数y＝有相同定义域的是f(x)＝.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
答案 C
解析 A中两函数的定义域不同；B，D中两函数的对应关系不同；C中定义域与对应关系都相同．故选C.
3．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由于≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
4．已知f(x)＝(x－1)2＋1，则f(x＋1)等于( )
A．(x＋2)2＋1 B．x2＋1
C．(x－2)2＋1 D．4x2＋1
答案 B
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x＋1)＝[(x＋1)－1]2＋1＝x2＋1.故选B.
5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．(0,4] B.
C. D.
答案 C
解析 ∵当x＝0或x＝3时，y＝－4；当x＝时，y＝－，∴m∈.故选C.
二、填空题
6．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g[f(2)]＝________.
答案
解析 ∵f(2)＝2×22＋2＝10，
∴g[f(2)]＝g(10)＝＝.
7．已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
答案 [－1,2]
解析 由1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
8．若f＝x3，则f(1)＝________.
答案 8
解析 令x＝1，则x＝2.∴f(1)＝23＝8.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋，
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)要使函数有意义，则x应满足
解得－3≤x<－2或x>－2.
即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝＋＝－1.
f＝ ＋＝＋.
(3)∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
10．求使函数y＝的值恒小于2的a的取值范围．
解 令<2，
因为x2－x＋1＝2＋>0，
所以x2＋ax－2<2x2－2x＋2，
即x2－(a＋2)x＋4>0对x∈R恒成立．
所以Δ＝[－(a＋2)]2－4×4<0，
化简，得(a＋6)(a－2)<0，解得－6<a<2.
所以使函数y＝的值恒小于2的a的取值范围是(－6,2)．
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2020)＋f的值．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.∴f(x)＋f是定值．
(3)由(2)，知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2020)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2020)＋f＝2019.
2．已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝x2－2x＋a，x∈[0,4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解 由题意，函数f(x)＝的定义域需满足：x2－16≥0，解得x≤－4或x≥4，
所以集合A＝{x|x≤－4或x≥4}，
函数g(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
因为x∈[0,4]，
当x＝1时，函数g(x)取得最小值为a－1；
当x＝4时，函数g(x)取得最大值为a＋8；
所以函数g(x)的值域为[a－1，a＋8]，
所以集合B＝[a－1，a＋8]，
因为A∪B＝R，如图所示：
所以需满足解得－4≤a≤－3，
故实数a的取值范围为[－4，－3]．
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