2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十六平面向量线性运算的应用新人教B版必修第二册.doc

课时跟踪检测（二十六） 平面向量线性运算的应用
A级——学考水平达标练
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：选B　由＝知四边形ABCD为平行四边形，由||＝||知▱ABCD的邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A．2 B．1
C. D．4
解析：选B　设BC边的中点为M，则(＋)＝，∴＝＋＝，∴P与M重合，∴||＝||＝1.
4．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析：选A　∵＝，＝(3,4)，
∴＝，∴∥，即AB∥DC.
又||＝ ＝，||＝＝5，
∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形．
5．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移．
解：如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，则A(0,0)，B(－1 000cos 30°，1 000sin 30°)，
即(－500，500)，
C(－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)，
即(－1 000，－1 000)，∴＝(－500，－1 500)，
∴||＝ ＝1 000(km)．
∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°.
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝ ，
||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，则
故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝ ，即AF＝ .

B级——高考水平高分练
1.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，
用向量的方法证明：(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令||＝1，则||＝1，||＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∵＝－，∴∥.
又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线．

2．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.

证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2
＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，
即AD⊥BC.

- 4 -