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章末综合检测（三） 平面向量初步
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的是( )
A．若向量|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若|a|>|b|，则a>b
解析：选C 向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故B不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D也不正确；由平行向量的定义知选C.
2．已知＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标为( )
A．(5,5) B．(－5，－5)
C．(1,3) D．(－5,5)
解析：选C ＝(3,4)＝(xB＋2，yB＋1)，所以xB＋2＝3，yB＋1＝4，故xB＝1，yB＝3，即B(1,3)．故选C.
3．下列向量与a＝(1,2)共线的是( )
A．(2,1) B．(－1,2)
C．(－1，－2) D．(2，－1)
解析：选C ∵1×(－2)－(－1)×2＝0，∴向量(－1，－2)与a＝(1,2)共线．
4.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝( )
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
解析：选D 根据题意得＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝＝＋.故选D.
5．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝( )
A．(3,2) B.
C．(－3，－2) D.
解析：选C ∵＝－＝(－7,2)－(2,8)＝(－9，－6)，∴＝(－9，－6)＝(－3，－2)．
6.如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；
②＝a－b；
③＝a－b；
④＝a＋b.
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
解析：选C ①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.
7．一船从某河一岸驶向另一岸，航速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则( )
A．|v1|＜|v2| B．|v1|＞|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
解析：选B 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等、方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.
8.如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．若C是线段AB的中点，则＋＝________.
解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB，∴与方向相反，模相等，∴＋＝0.
答案：0
10．已知a＝(－6，y)，b＝(－2,1)，且a与b共线，则y＝________.
解析：由于a∥b，所以－6×1＝－2y，解得y＝3.
答案：3
11．已知向量a＝(1,2)，|b|＝2，b＝λa，且λ>0，则λ＝__________；b＝__________.
解析：由已知得，λ＝＝＝2，所以b＝(2,4)．
答案：2 (2,4)
12.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则＝__________.(用r1，r2，r3表示)
解析：＝＋＝＋＝＋－＝r3＋r1－r2.
答案：r3＋r1－r2
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(8分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a，＝－＝－＝b－a，
＝－＝－－＝－－＝a－b.
14．(10分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.
(1)求证：A，B，C三点共线；
(2)求的值．
解：(1)证明：∵＝＋，
∴－＝(－)，即＝，
∴∥.
又AC，AB有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)由(1)得＝＝(＋)，
∴＝，
∴＝2，∴＝2.
15.(10分)如图，在▱OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
解：由题意知，在▱OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝(＋)＝(a＋b)，
则＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
16．(12分)如图，已知AC，BD是梯形ABCD的对角线，E，F分别是BD，AC的中点．求证：EF∥BC.
证明：设＝a，＝b，则＝－＝b－a.
∵∥，∴＝λ＝λb(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
∵E为BD的中点，∴＝＝(b－a)．
∵F为AC的中点，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)＝(－)＝(λb－a)，
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)＝b＝.
∴EF∥BC.
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵＋－＝＋＝.
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( )
A．5 B.
C. D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.
3．正方形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则a－b＋c表示的向量等于( )
A． B．
C． D．
解析：选C ∵a与c是一对相反向量，∴a－b＋c＝－b＝.
4．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
解析：选B 由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，∴A，M，B三点共线．又λ∈(1,2)，∴||>||，∴点B在线段AM上．
5.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A 由题意得＝＋＝＋－＝－，∴λ＝－，μ＝1，∴λ＋μ＝，故选A.
6．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为( )
A．(2,16) B．(－2，－16)
C．(4,16) D．(2,0)
解析：选A 设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴∴故选A.
7．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90° B．30°
C．45° D．60°
解析：选D 如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.于是tan∠AOC＝＝＝＝，∴∠AOC＝60°，故选D.
8．设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[0,3] D．[1,3]
解析：选C ，，分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，c同向时，|p|取得最大值3，且|p|的最小值为0，故选C.
9．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析：选A 作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.
10．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，且平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(4，＋∞)
C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C 平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m,3m－4)，b＝(1,2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
解析：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
答案：(－7，－4)
12．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，根据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
答案：－
13．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝_______.
解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.
答案：2
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是__________．
解析：设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
所以解得
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
所以k＝－.
16．(10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：(1)因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，所以＝2－.
(2)证明：如图，＝＋＝－ ＋＝(2－)．
故＝，即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD是梯形．
17．(10分)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，
得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
18．(10分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8,3)，设＝x＋y，
则(8,3)＝x(2，－1)＋y(3,0)＝(2x＋3y，－x)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，
所以，不共线，
因为＝(1,1)，＝(m－2,4)，
所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
19.(12分)如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，图中G点距屋顶的距离恰好为5米，故左边绳子与竖直方向成45°，右边绳子与竖直方向成60°，即AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
所以A处所受力的大小为(150－50)N.
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