资源描述
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
[A 基础达标]
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；
②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0；
④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选C.①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C.
2．(2019·临川一中月考)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a>4或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
解析：选A.不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
3．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )
A．{x|x<5a或x>－a}
B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a<x<5a}
D．{x|5a<x<－a}
解析：选A.方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.
4．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为( )
A.
B.
C．{x|－2<x<1}
D．{x|x<－2或x>1}
解析：选A.由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，则－1＋2＝－，－1×2＝，解得a＝－1，b＝1.所以2x2＋bx＋a＝2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜.
5．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是________．
解析：因为不等式ax2＋8ax＋21<0的解集为，
所以方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根为－7和－1，
所以(－7)×(－1)＝，所以a＝3.
答案：3
6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝________．
解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1＜x＜m}．
所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
7．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x的最小值为________．
解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.
答案：20
8．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为
.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
9．已知关于x的不等式x2－x－m＋1>0.
(1)当m＝3时，解此不等式；
(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝3时，不等式为x2－x－2>0，方程x2－x－2＝0的两根为2和－1，
根据函数y＝x2－x－2的图象，可知此不等式的解集为{x|x>2或x<－1}．
(2)不等式x2－x－m＋1>0对任意实数x恒成立，
等价于二次函数y＝x2－x－m＋1的图象在x轴上方，
即1－4(－m＋1)<0，解得m<，
所以实数m的取值范围是m<.
[B 能力提升]
10．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A.
B．R
C.
D．∅
解析：选A.因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项．
11．已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}，若A⊆B，则a的取值范围是________．
解析：方程x2－2ax＋a2－1＝0的两根为a＋1，a－1，且a＋1>a－1，所以B＝{x|a－1<x<a＋1}．因为A⊆B，所以，解得1≤a≤2.
答案：1≤a≤2
12．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.
答案：2≤x<8
13．解关于x的不等式x2＋3ax－4a2<0(a∈R)．
解：由于x2＋3ax－4a2<0可化为(x－a)·(x＋4a)<0，且方程(x－a)(x＋4a)＝0的两个根分别是a和－4a.
当a＝－4a，即a＝0时，不等式的解集为∅；
当a>－4a，即a>0时，解不等式为－4a<x<a；
当a<－4a，即a<0时，解不等式为a<x<－4a.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为∅；当a>0时，不等式的解集为{x|－4a<x<a}；当a<0时，不等式的解集为{x|a<x<－4a}．
[C 拓展探究]
14．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车速xkm/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？
解：由题设条件应列式为－2x＋x2≥22.5，
移项、整理、化简得不等式x2－36x－405≥0.
因为Δ>0，所以方程x2－36x－405＝0有两个实数根x1＝－9，x2＝45，
所以不等式的解为x≤－9或x≥45.
在这个实际问题中x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h.
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