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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列不等式中一元二次不等式的个数为( )
①(m＋1)x2＞x ②－x2＋5x＋6＞0
③(x＋a)(x＋a＋1)＜0 ④2x2－x＞2
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由一元二次不等式的定义可知，②③④为一元二次不等式．
2．若不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是( )
A．1<a<4 B．－4<a<－1
C．a<－4或a>－1 D．a<1或a>4
答案 B
解析 不等式x2－4x>2ax＋a可变形为x2－(4＋2a)x－a>0，∵该不等式对一切实数x恒成立，∴Δ<0，即(4＋2a)2－4·(－a)<0，化简得a2＋5a＋4<0，解得－4<a<－1，所以实数a的取值范围是－4＜a<－1.故选B.
3．关于x的不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－3a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－3a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－3a2)＝16a2＝152，解得a＝±，又a＞0，所以a＝.故选C.
4．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为( )
A.
B.
C．{x|－3<x<2}
D.
答案 B
解析 由题意可知，ax2－5x＋b＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝，－3×2＝，解得a＝－5，b＝30，则所求不等式可化为30x2－5x－5>0，即(2x－1)(3x＋1)>0，解得x<－或x>.故选B.
5．如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300 m2.设道路宽为x m，根据题意可列出的不等式为( )
A．(22－x)(17－x)≤300
B．(22－x)(17－x)≥300
C．(22－x)(17－x)>300
D．(22－x)(17－x)<300
答案 B
解析 “不小于”就是“≥”，所以由题意可以列出的不等式为(22－x)(17－x)≥300，故选B.
二、填空题
6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1<x<m}，则m＝________.
答案 2
解析 ∵ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1<x<m}，
∴a>0；1，m是相应方程ax2－6x＋a2＝0的两根．
解得m＝2.
7．已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}，则M∩N＝________.
答案
解析 由－9x2＋6x－1<0，得9x2－6x＋1>0.
所以(3x－1)2>0，解得x≠，
即M＝.
由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，即N＝{x|－1<x<4}．
所以M∩N＝.
8．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
答案 3≤t≤5
解析 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5.
三、解答题
9．已知关于x的不等式x2－x－m＋1>0.
(1)当m＝3时，解此不等式；
(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝3时，不等式为x2－x－2>0.即(x－2)·(x＋1)>0，解得x<－1或x>2.
(2)设y＝x2－x－m＋1.∵不等式x2－x－m＋1>0对于任意x都成立，∴Δ＝12＋4(m－1)<0，解得m<.
故实数m的取值范围是m<.
解
B级：“四能”提升训练
1．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
解 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
2．某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，x h内供水总量为120(0≤x≤24)．
(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h内，有几个小时出现供水紧张现象？
解 (1)设x h后蓄水池中的存水量为y t，
则y＝400＋60x－120(0≤x≤24)，
设＝u，则u2＝6x(u∈[0,12])，
所以y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.
因为u∈[0,12]，故当u＝6即x＝6时，ymin＝40.
即从供水开始到第6 h时，蓄水池中的存水量最少，为40 t.
(2)依题意，得400＋10u2－120u＜80，
即u2－12u＋32＜0，解得4＜u＜8，所以16＜u2＜64.又u2＝6x，所以16＜6x＜64，所以＜x＜.
又－＝8，所以每天约有8 h供水紧张．
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