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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、选择题
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )
A. B.
C．∅ D．R
解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案：D
2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}
C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}
解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为x1＝m，x2＝－n.由m＋n>0，得m>－n，则不等式(x－m)(x＋n)<0的解集是{x|－n<x<m}，故选B.
答案：B
3．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为( )
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝.解得a＝－6，c＝－1.
答案：B
4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)
解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×<0，即m2－2m<0，解得0<m<2，故答案为D.
答案：D
二、填空题
5．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为________．
解析：方程(2x－5)(x＋3)＝0的两根为x1＝，x2＝－3，函数y＝(2x－5)(x＋3)的图象与x轴的交点坐标为(－3,0)和，所以不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为.
答案：
6．不等式<0的解集为________．
解析：原不等式可以化为(2x－1)(2x＋1)<0，
即<0，
故原不等式的解集为.
答案：
7．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m，宽＝________ m时，所围成的矩形的面积最大．
解析：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m,0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0<x<50)．当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大．
答案：25 25
三、解答题
8．解下列不等式：
(1)x2＋2x－15>0；
(2)x2－3x＋5>0；
(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解析：(1)x2＋2x－15>0⇔(x＋5)(x－3)>0⇔x<－5或x>3，所以不等式的解集是{x|x<－5或x>3}．
(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R.
(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解析：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
[尖子生题库]
10．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解析：方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.
(1)若a>0，则－a<x<2a，此时不等式的解集为{x|－a<x<2a}；
(2)若a<0，则2a<x<－a，此时不等式的解集为{x|2a<x<－a}；
(3)若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅.
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a<x<2a}；
当a<0时，{x|2a<x<－a}；
当a＝0时，∅.
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