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2.2.1 不等式及其性质
一、选择题
1．若，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
若，则，故A错，
，故B错，
，
故选D.
2．已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为且，故，所以，故A正确；
又，故，故B正确；
而，故，故C正确；
当时，，当时，有，故不一定成立，
综上，选D.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
4．若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意，因为，所以，即，
又因为，所以，
故选：A．
5．已知，，，，则下列不等式中恒成立的是( )．
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
选项：若，，，，则，；此时，可知错误；
选项：若，则，可知错误；
选项：，则；若，则，可知错误；
选项：若，根据不等式性质可知，正确.
本题正确选项：
6．（2019年天津文)设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
等价于，故推不出；
由能推出。
故“”是“”的必要不充分条件。
故选B.
7．已知,下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.
故选A.
8．设，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以
当时，A,B不成立，
当时，C不成立，
综上选D.
9．三个正整数，，满足条件: ，，，若，则的最大值是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】
由不等式的性质结合题意有：，
即，
由于都是正整数，故的最大值是13.
故选：B.
二、填空题
10．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_______．
【答案】-1
【解析】
由得x＜-1或x＞1，
又“”是“x＜a”的必要不充分条件，
则 ⊊，则a≤-1，
则的最大值为-1，
故答案为：-1．
11．已知，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].
故答案为：[﹣9，0]
12．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】<
【解析】
由题得，
因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,
所以
所以.
故答案为：＜
13．能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，
只需满足 且 即可，
可取，
故答案为（答案不唯一）.
三、解答题
14．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，求证＞.
【答案】见解析
【解析】
都是正数，且＞，x＞y，
，
故，即，
.
15．已知下列三个不等式：
①；
②；
③，
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
【解析】
（1）对②变形得，
由得②成立，即①③②．
（2）若，则，即①②③．
（3）若，则，即②③①．
综上所述，可组成3个正确命题．
16． ；是的什么条件？并说明理由．
【答案】必要不充分条件
【解析】
p是的必要不充分条件，理由如下：①必要性：，，
，，则，
又，，，
，，则；必要性成立；
②不充分性：举例说明如，满足，但不满足充分性
不成立．
综上，p是的必要不充分条件.
17．设x<y<0,试比较 与的大小.
【答案】见解析
【解析】
作差，
.
∵，
∴，，
∴，
∴.
18．已知，，求的取值范围.
【答案】
【解析】
设
，解得
又由得
19．已知x∈R，a=x2-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）；
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，a，b中至少有一个大于等于0．
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