资源描述
第2课时 基本不等式的应用
型一 利用基本不等式证明不等式[经典例题]
例1 已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【解析】 ∵a，b，c，，，均大于0，
∴＋b≥2＝2a.
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2＝2b.
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
→→→→
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练1 已知x>0，y>0，z>0.
求证：≥8.
证明：因为x>0，y>0，z>0，
所以＋≥>0，
＋≥>0，
＋≥>0，
所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
分别对＋，＋，＋用基本不等式⇒同向不等式相乘．
题型二 利用基本不等式解决实际问题
[教材P71例3]
例2 (1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
【分析】 在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
【解析】 (1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100.
因为x>0，y>0，所以≥＝10，
所以2(x＋y)≥40.
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝10.
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.
(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18.
因为x>0，y>0，所以＝≥，
因此≤9，即xy≤81.
当且仅当x＝y时，等号成立，由可知此时
x＝y＝9.
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
跟踪训练2 某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．
2．利用基本不等式求平均利润．
课时作业 14
一、选择题
1．已知a，b，c，是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
答案：C
2.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.
C．3 D.
解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立．
答案：B
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．9.5 m B．10 m
C．10.5 m D．11 m
解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋，从而l＝a＋b＋≥2＋＝6＋3≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5 m.
答案：C
4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5.由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
二、填空题
5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析：设＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18.
答案：18
7．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
解析：设原价为1，则提价后的价格为
方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，
方案乙：2，
因为≤＝1＋%，
且p>q>0，
所以<1＋%，
即(1＋p%)(1＋q%)<2，
所以提价多的方案是乙．
答案：乙
三、解答题
8．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b＝1：2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)＝1 832－6x－y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)方法一 S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y，xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
方法二 S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值，此时y＝＝45.
[尖子生题库]
10．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)．
证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，
∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号．
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