1、第2课时基本不等式的应用型一利用基本不等式证明不等式经典例题例1已知a、b、c0，求证：abc.【解析】a，b，c，均大于0，b22a.当且仅当b时等号成立c22b.当且仅当c时等号成立a22c，当且仅当a时等号成立相加得bca2a2b2c，abc.方法归纳(1)在利用ab2时，一定要注意是否满足条件a0，b0.(2)在利用基本不等式ab2或(a0，b0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用跟踪训练1已知x0，y0，z0.求证：8.证明：因为x0，y0，z0，所以0，0，0，所以8，当且仅当xyz时等号成立分别对，用基
2、本不等式同向不等式相乘题型二利用基本不等式解决实际问题教材P71例3例2(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？【分析】在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值【解析】(1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy100.因为x0，y0，所以10，所以2(xy)40.当且仅当xy时，等号成立，由可知此时xy10.因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最
3、短周长为40.(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(xy)36，即xy18.因为x0，y0，所以，因此9，即xy81.当且仅当xy时，等号成立，由可知此时xy9.因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数(2)建立相应的函数关系式，把实际
4、问题抽象为函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)正确写出答案跟踪训练2某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元该船每年捕捞总收入50万元(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元则y50n982n240n982(n10)2102，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元(2)年平均利润为2212，当且仅当n，即n7时上式取等号所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元1.盈利等
5、于总收入支出，注意支出，由两部分组成2利用基本不等式求平均利润课时作业 14一、选择题1已知a，b，c，是正实数，且abc1，则的最小值为()A3B6C9 D12解析：abc1，(abc)332229，当且仅当abc时，等号成立答案：C2.(6a3)的最大值为()A9 B.C3 D.解析：因为6a3，所以3a0，a60，则由基本不等式可知，当且仅当3aa6，即a时，等号成立答案：B3将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A9.5 m B10 mC10.5 m D11 m解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，
6、b，则ab9，注意到直角三角形的周长为lab，从而lab26310.24，当且仅当ab3时，l取得最小值从最节俭的角度来看，选择10.5 m.答案：C4已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3 B2C3 D8解析：yx4x15.由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，当且仅当x1，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.答案：C二、填空题5某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则该公司年平均利润的最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利
7、润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：86若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_解析：设t(t0)，由xy2xy626，即t22t6，(t3)(t)0，t3，则xy18，当且仅当2xy,2xy6xy，即x3，y6时等号成立，xy的最小值为18.答案：187某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若pq0，则提价多的方案是_解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：2，因为1%，且pq0，所以1%，即(1p%)(1q%)0，b0，ab1，求证
8、：9.证明：a0，b0，ab1，112，同理，12，52549.9(当且仅当ab时等号成立)9桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b1：2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？解析：(1)由题可得，xy1 800，b2a，则yab63a6，S(x4)a(x6)b(3x16)a(3x16)1 8326xy(x6，y6，xy1 800)(2)方法一S1 8326xy1 83221 8324801 352，当且仅当6xy，xy1 800，即x40，y45时，S取得最大值1 352.方法二S1 8326x1 8321 83221 8324801 352，当且仅当6x，即x40时取等号，S取得最大值，此时y45.尖子生题库10已知ab，ab1，求证：a2b22(ab)证明：ab，ab0，又ab1，ab22，即2，即a2b22(ab)，当且仅当ab，即ab时取等号- 7 -
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
