资源描述
2.2.1 不等式及其性质
[A 基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若>，则a<b
C．若b>c，则|a|b≥|a|c
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．
2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1<y2 B．y1＝y2
C．y1>y2 D．随x值变化而变化
解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以y1>y2.故选C.
4．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋>b＋ B．a＋≥b＋
C.> D．b－>a－
解析：选A.因为a>b>0，所以>>0，所以a＋>b＋，故选A.
5．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>c|b|
解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．
由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.
6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是________．
解析：<⇔<0，所以①②④能使它成立．
答案：①②④
7．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解析：(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)
＝(a1b1－a1b2)＋(a2b2－a2b1)
＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)
＝(a1－a2)(b1－b2)，
因为a1<a2，b1<b2，
所以a1－a2<0，b1－b2<0，
所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．
答案：3
9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．
解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
10．已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
解：(1)|a|∈[0，3]．
(2)－1<a＋b<5.
(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，
相加得－4<a－b≤2.
(4)由－2<a≤3，得－4<2a≤6，①
由1≤b<2，得－6<－3b≤－3，②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
[B 能力提升]
11．(2019·河南省实验中学月考)若<<0，则下列结论中不正确的是( )
A．a2<b2 B．ab<b2
C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D.因为<<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误，故选D.
12．若α、β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
解析：选C.由－<α<β<，得－π<α－β<0，又－<α<，所以－π<α＋(α－β)<，即－π<2α－β<.
13．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：
(1)a2＋b2与b的大小；
(2)2ab与的大小．
解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，
所以0<a<<b，
则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，
所以a2＋b2<b.
(2)因为2ab－＝2a(1－a)－
＝－2a2＋2a－
＝－2
＝－2<0，
所以2ab<.
14．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明：⇒≥⇒＋1≥＋1⇒≥⇒≤.
[C 拓展探究]
15．已知－<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试判断A、B、C、D的大小关系．
解：因为－<a<0，取a＝－，则A＝，B＝，C＝，D＝，所以猜想C>A>B>D.则只需说明B－D>0，A－B>0，C－A>0即可．
因为B－D＝1－a2－＝＝，
又－<a<0，所以1－a>0，－1<a－<－，
所以<<1，故－<0.
所以>0，所以B>D.
因为A－B＝1＋a2－1＋a2＝2a2>0，所以A>B.
因为C－A＝－(1＋a2)＝
＝，
又1＋a>0，－a>0，＋>0，
所以>0，所以C>A.
综上可知，A、B、C、D的大小关系是C>A>B>D.
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