资源描述
2.2.1 不等式及其性质
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是( )
A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－a
C．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a
答案 A
解析 b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．∵a>b，∴a－b>0.又(b－1)2≥0，
∴(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.故选A.
2．若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是( )
A．a<b B．a＋b>ab
C．|a|>|b| D．ab<b2
答案 D
解析 ∵<<0，∴b<a<0，故A不对；又∵a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab，故B不对；由b<a<0知|a|<|b|，故C不对；D中ab－b2＝b(a－b)<0，即ab<b2.故选D.
3．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A．ac2>bc2 B．a－d>b－c
C．ad<bd D．a2>b2
答案 B
解析 对于A，若c＝0，则A不正确；对于B，正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确，综上选B.
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案 A
解析 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.故选A.
5．若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0<ab<1不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件，即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分而不必要条件．故选A.
二、填空题
6．有以下四个条件：
①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使<成立的有________．
答案 ①②④
解析 ①因为b>0>a，所以>0>；
②因为0>a>b，所以<<0；
③因为a>0>b，所以>0>；
④因为a>b>0，所以>>0.
7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________．
答案 27＜x－y＜56 ＜＜3
解析 x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的范围；
＝x×，所以需先求出的范围．
∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，＜＜.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，
即＜＜3.
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为________．
答案 ab≠1或a≠－2
解析 ∵x＞y，∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，∴ab－1≠0或a＋2≠0，即ab≠1或a≠－2.
三、解答题
9．设a>b>0，试比较与的大小．
解 －
＝
＝
＝.
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
10．(1)已知x，y都是正实数，求证：x3＋y3≥x2y＋xy2.
(2)已知n≥0，求证：－≤－.
证明 (1)x3＋y3－x2y－xy2＝x2(x－y)－y2(x－y)
＝(x2－y2)(x－y)＝(x－y)2(x＋y)．
因为x>0，y>0，所以(x－y)2(x＋y)≥0，
所以x3＋y3≥x2y＋xy2.
(2)要证－≤－成立，需证＋≤2.
只需证(＋)2≤(2)2，
只需证n＋1≥ ，只需证(n＋1)2≥n2＋2n
需证n2＋2n＋1≥n2＋2n，只需证1≥0，
因为1≥0显然成立，所以n≥0时，－≤－成立．
B级：“四能”提升训练
1．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
解 解法一(作差法)：－(＋)＝＋＝＋＝＝.
∵a，b为正实数，
∴＋>0，>0，(－)2≥0，
∴≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)．
解法二(作商法)：＝
＝＝
＝＝1＋≥1，
当且仅当a＝b时取等号．
∵＋>0，＋>0，
∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)．
2．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，求2x－3y的取值范围．
解 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴解得
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．
∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<.
∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即3<2x－3y<8，
∴2x－3y的取值范围为(3,8)．
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