资源描述
7.2.2 复数的乘、除运算
[A 基础达标]
1．复数＝( )
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
解析：选C.因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以＝＝＝－i.
2．(2019·安徽六安一中模考)设复数z＝1＋bi(b∈R)且z2＝－3＋4i，则z的共轭复数的虚部为( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：选A.z2＝(1＋bi)2＝1－b2＋2bi＝－3＋4i，
所以，所以b＝2，故z＝1＋2i，＝1－2i.
故选A.
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A.由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.
4．(2019·江西赣州寻乌中学期末)若复数＝2－i(其中a，b是实数，i是虚数单位)，则复数a＋bi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.由＝2－i，可得a＋i＝(b－i)(2－i)，即a＋i＝2b－1－(2＋b)i，所以
解得所以复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(－7，－3)，位于第三象限，故选C.
5．设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选A.由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
6．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
解析：由题意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________．
解析：依题意，得z＝＝i，所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1.
答案：1
8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b等于________．
解析：因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝.
答案：
9．计算：
(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
解：(1)(2－i)(3＋i)
＝(7－i)
＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝
＝－2－2i.
10．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|.
解：(1)＝＝＝＝－1＋5i.
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，
因为z＋z1为实数，
所以b－1＝0，所以b＝1，所以z＝1＋i，
所以|z|＝.
[B 能力提升]
11．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：选B.法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，从而＝＝＝＝－2i.
12．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
解析：选D.因为z＝＋bi＝＋bi＝＋(＋b)i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
13．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________．
解析：因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，所以
x＝
＝
＝＝－3±i.
答案：－3±i
14．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i.
(1)求z1·z2；
(2)若＝＋，求z.
解：(1)因为z1＝1－i，z2＝2＋2i，所以z1·z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.
(2)由＝＋，得z＝，
所以z＝＝＝＝－i.
[C 拓展探究]
15．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若复数ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，
其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.
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