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第2课时 均值不等式的应用
[A 基础达标]
1．设a>0，b>0，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.≥
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
解析：选B.因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，故A成立．
因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥不一定成立，故B不成立．
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，
所以≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.
2．若0<a<b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为( )
A．a B．2ab
C. D．无法确定
解析：选C.因为0<a<b，a＋b＝1，所以a<，
因为ab<＝，所以2ab<，
则a，，2ab中最大的数为，故选C.
3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，
由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
4．已知a<b，则＋b－a的最小值为( )
A．3 B．2
C．4 D．1
解析：选A.因为a<b，所以b－a>0，
由均值不等式可得＋b－a＝1＋＋(b－a)≥1＋2＝3，
当且仅当＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，＋b－a的最小值为3，故选A.
5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C.由已知，可得6＝1，
所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.
6．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，
即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.
又由已知x＝3时，ymin＝4，
所以＝3，即a＝36.
答案：36
7．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．
解析：因为a＜1，即1－a>0，
所以－＝(1－a)＋
≥2
＝2.
当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号．
所以a－1＋≤－2，即a＋≤－1.
答案：a＋≤－1
8．(2019·扬州期末)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
解析：如图所示，连接OC，
设|OB|＝x(0<x<4)，则|BC|＝＝，|AB|＝2|OB|＝2x，
所以，由均值不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝|AB|·|BC|＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，
当且仅当16－x2＝x2时，即当x＝2时，等号成立，
答案：16
9．已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：≥8.
证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以＋≥＞0，
＋≥＞0，
＋≥＞0，
所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
10．已知a＞b＞c且＋≥恒成立，求实数m的最大值．
解：由题意，a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，
又＋≥，即＋≥m，
即＋≥m，
因为2＋＋1＋≥3＋2(当且仅当a－b＝
(b－c)时取等号)，所以m≤3＋2，
所以实数m的最大值为3＋2.
[B 能力提升]
11．若实数x>0，y>0，且x＋4y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C.根据题意，实数x>0，y>0，若x＋4y＝xy，则＋＝1，
x＋y＝(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝2y，即x＝6，y＝3时等号成立，
即x＋y的最小值为9，故选C.
12．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
解析：选B.因为a＞0，b＞0，
所以＋≥⇔＋＝5＋＋≥m，由a＞0，b＞0得，＋≥2＝4(当且仅当a＝b时取“＝”)．
所以5＋＋≥9，所以m≤9.故选B.
13．已知正实数a，b满足a＋b＝4，求＋的最小值．
解：因为a＋b＝4，所以(a＋1)＋(b＋3)＝8，所以，8＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝＋＋2≥2＋2＝4，
所以＋≥，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为.
14．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
证明：因为x，y，z均为正数，
所以＋＝≥，当且仅当x＝2y时等号成立，
同理可得＋≥，当且仅当2y＝3z时等号成立，
＋≥，当且仅当x＝3z时等号成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得＋＋≥＋＋，当且仅当x＝2y＝3z时等号成立．
[C 拓展探究]
15．如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN.要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．若设DN＝x，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
解：因为DC∥AM，所以＝，所以＝
所以|AM|＝，(x>0)
矩形花坛AMPN的面积y＝|AM|·|AN|＝＝3≥3＝24，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以矩形花坛AMPN的面积的最小值为24，此时DN＝2.
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