2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.1均值不等式及其应用练习含解析新人教B版必修第一册.doc

2.2.4均值不等式及其应用最新课程标准：掌握基本不等式(a，b0)结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式1数轴上两点之间的距离公式一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB|ab|.2中点坐标公式如果线段AB的中点M的坐标为x.若a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数基本不等式(a，bR)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a0，b0，且a bM，M为定值，则ab，当且仅当ab时等号成立即：a bM，M为定值时，(ab)max.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a0，b0，且ab P，P为定值，则a b2，当且仅当a b时等号成立基础自测1已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22abBab2C. D.2解析：对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以0，0，所以2 ，即2成立答案：D2若a1，则a的最小值是()A2 BaC. D3解析：a1，所以a10，所以aa11213.当且仅当a1即a2时取等号答案：D3下列不等式中，正确的是()Aa4 Ba2b24abC. Dx22解析：a0，则a4不成立，故A错；a1，b1，a2b24ab，故B错，a4，b16，则，故C错误；由基本不等式可知D项正确答案：D4已知x，y都是正数(1)如果xy15，则xy的最小值是_(2)如果xy15，则xy的最大值是_解析：(1)xy22，即xy的最小值是2；当且仅当xy时取最小值(2)xy22，即xy的最大值是.当且仅当xy时xy取最大值答案：(1)2(2)第1课时基本不等式题型一对基本不等式的理解经典例题例1(1)下列不等式中，不正确的是()A.a2b22|a|b|B.2ab(b0)C.21(b0)D2(a2b2)(ab)2(2)给出下列命题：若xR，则x2；若a0，b0且y0.其中正确命题的序号是_【解析】(1)A中，a2b2|a|2|b|22|a|b|，所以A正确由a2b22ab，得a22abb2.B中，当b0时，才能由基本不等式得到x22，故错误；当a0，b0，由基本不等式可得ab22，故正确；由基本不等式可知，当0，0时，有22成立，这时只需x与y同号即可，故错误基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a，b均为正数，(2)相等：即“”成立的条件【答案】(2)跟踪训练1设0ab，则下列不等式中正确的是()A.abBabCabD.ab解析：0aba2abb2ab,0ab2aab2bab，又，所以a0，求yx的最小值，并说明x为何值时y取得最小值【解析】因为x0，所以根据均值不等式有x22，其中等号成立当且仅当x，即x21，解得x1或x1(舍)因此x1时，y取得最小值2.教材反思1利用基本不等式求最值的策略2通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件跟踪训练2(1)已知x0，y0，且xy8，则 (1x)(1y)的最大值为()A16B25C9 D36(2)若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值()A3 B4C. D.解析：(1)因为x0，y0，且xy8，所以(1x)(1y)1xyxy9xy9294225，因此当且仅当xy4时，(1x)(1y)取最大值25.(2)因为正实数x，y满足x2y2xy80，所以x2y280.设x2yt0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值为4.答案：(1)B(2)B1展开(1x)(1y)将xy8代入用基本不等式求最值2利用基本不等式得x2y280设x2yt0，解不等式求出x2y的最小值易错点利用基本不等式求最值例若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6【错解】由x3y5xy5xy2，因为x0，y0，所以25x2y212xy，即xy.所以3x4y22，当且仅当3x4y时取等号，故3x4y的最小值是.错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致【正解】由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)25，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.【答案】C课时作业 13一、选择题1给出下列条件：ab0；ab0，b0；a0，b0，则y的最小值为()A1 B2C2 D5解析：依题意得yt4242，等号成立时t1，即函数y(t0)的最小值是2.答案：B3若a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22 Da2b23解析：a2b22ab，(a2b2)(a2b2)(a2b2)2ab，即2(a2b2)(ab)24，a2b22.答案：C4若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B8C9 D10解析：因为a，b都是正数，所以5529，当且仅当b2a0时取等号答案：C二、填空题5不等式a212a中等号成立的条件是_解析：当a212a，即(a1)20时“”成立，此时a1.答案：a16设abM(a0，b0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于_解析：因为abM(a0，b0)，由基本不等式可得，ab2，因为ab的最大值为2，所以2，M0，所以M2.答案：27已知x0，y0，且1，则3x4y的最小值是_解析：因为x0，y0，1，所以3x4y(3x4y)13133225(当且仅当x2y5时取等号)，所以(3x4y)min25.答案：25三、解答题8已知x，求f(x)4x2的最大值解析：因为x，所以4x50.f(x)4x533231.当且仅当54x时等号成立，又54x0，所以54x1，x1.所以f(x)maxf(1)1.9已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，求a的值解析：因为f(x)4x24，当且仅当4x，即4x2a时，f(x)取得最小值又因为x3，所以a43236.尖子生题库10已知x，求函数y的最小值解析：y(2x12x)1028，而x，2828，当且仅当28，即x时取到等号，则y18，所以函数y的最小值为18.- 9 -