资源描述
2.2.4 均值不等式及其应用
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案 C
解析 由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．故选C.
2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
答案 D
解析 根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；
当a＝b时，A不成立；
因为ab＞0，所以＋≥2＝2，故D成立．
3．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是( )
A.≥8 B.＋≥4
C.≥ D.≤
答案 B
解析 ∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故A，C不正确．
对于D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D不正确．
对于B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.
4．已知y＝x＋－2(x＜0)，则y有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
答案 C
解析 ∵x＜0，∴－x＞0.
∴x＋－2＝－－2
≤－2－2＝－4.
当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号．故选C.
5．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 B
解析 ∵x>1，∴＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，“＝”成立，所以a≤6.故选B.
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
答案 ≤
解析 ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，
∴＋＝(a＋2b)×＝
≥＋ ＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴＋的最小值为.
故答案为.
8．函数y＝(x＞－1)的最小值为________．
答案 4＋1
解析 由题意知，函数y＝＝2(x＋1)＋＋1.
∵x＞－1，∴x＋1＞0，
∴y＝2(x＋1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时等号成立．故函数的最小值为4＋1.
三、解答题
9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立，
∴＋＋＞a＋b＋c.
10．(1)已知正数a，b满足a＋4b＝4，求＋的最小值；
(2)求y＝的最大值．
解 (1)因为a，b＞0，且a＋4b＝4，
所以＋＝(a＋4b)＝≥＝，当且仅当a＝2b＝时取等号，所以＋的最小值为.
(2)令t＝(t≥)，
则y＝＝≤＝，
当且仅当t＝2，即k＝±时，取得等号．
故y的最大值为.
B级：“四能”提升训练
1．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解 x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
故x＋y的最小值为(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18，①
又a＋b＝10，②
由①②可得或
2．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
解 由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.
因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．
所以m≤4，即m∈(－∞，4]．
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