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课时作业32 直线与平面平行
知识点一 直线与平面平行的判定
1.设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是( )
A．b与α内一条直线平行
B．b与α内所有直线都无公共点
C．b与α无公共点
D．b不在α内，且与α内的一条直线平行
答案 A
解析 A中b可能在α内；B，C显然是正确的，D是线面平行的判定定理，所以选A.
2．圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
答案 A
解析 圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．
3．点E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
4．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
答案 平行
解析 ∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.
知识点二 直线与平面平行的性质
5.下列说法正确的是( )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点
答案 D
解析 A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确．
6．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．不可能有
答案 B
解析 设这n条直线的交点为P，则P点不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，设平面α和平面β的交线为直线b，则直线b过点P，又直线a∥平面α，则a∥b，这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与a平行的至多有一条．
7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案 A
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD.
∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，又EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
答案 B
解析 在▱AA1B1B中，∵AM＝2MA1，BN＝2NB1，
∴AM∥BN，且AM＝BN，∴四边形ABNM为平行四边形，
∴MN＝AB，MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB.在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.
证明 如图，连接A1C.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．
又因为N为线段AC1的中点，
所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．
因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.
又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
一、选择题
1．a，b为不同直线，α为平面，则下列说法：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；
③若a∥b，a∥α，则b∥α；④若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中正确的是( )
A．①④ B．①③
C．② D．都不正确
答案 D
解析 ①中可以为a⊂α，不正确；②a∥α，b⊂α，a，b可以异面，a∥b不正确；③b可以在α内，因此b∥α不正确；④a，b可以相交、平行或异面，不正确．故选D.
2．如图，已知S为四边形ABCD所在平面外一点，G，H分别为SB，BD上的点．若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
答案 B
解析 因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD.显然GH与SA，SC均不平行．故选B.
3．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
答案 A
解析 ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
答案 A
解析 ①正确，取MP的中点O，连接NO，则NO∥AB，可得到直线AB与平面MNP平行；②正确，因为MP∥AB，可得到直线AB与平面MNP平行；③连接底面两条对角线交于点O，连接OP，很显然AB∥OP，而直线OP不在平面MNP内，所以直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行关系；④直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行关系．故选A.
5．如图，四棱锥S－ABCD中所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
答案 C
解析 ∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.
又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.
又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB＝EF，
∴CD∥EF.
∴EF∥AB.又E为SA的中点，∴EF＝AB＝1.
又△SAD和△SBC都是等边三角形，
∴DE＝CF＝2×sin60°＝，
∴四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝2＋＋1＋＝3＋2.
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________．直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．
答案 相交 平行
解析 ∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，连接MM1，M1C.
∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，又DM⊄平面BCC1B1，CM1⊂平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1.
7．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧，线段AB，AC，AD交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于________．
答案
解析 ∵a∥α，EG＝α∩平面ABD，∴a∥EG，又点B，C，D∈a，
∴BD∥EG.
∴＝＝＝＝＝，
∴EG＝＝＝.
8．如图所示的一个四棱锥，各条棱都相等，VB⊥AC，点P是棱VA的中点，过点P将四棱锥锯开，使截面平行于棱VB和AC.若四棱锥的棱长为a，则截面面积为________．
答案
解析 如图，在平面VAC内过点P作直线PD∥AC，交VC于D；在平面VBA内过点P作直线PF∥VB，交AB于F；在平面VBC内过点D作直线DE∥PF，交BC于E.连接EF.
∵PF∥DE，∴P，D，E，F四点共面，
且平面PDEF与直线VB，AC平行．
又VB⊥AC，易知四边形PDEF为边长为a的正方形，故其面积为.
三、解答题
9．如图，在底面是正三角形的三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．
解 A1B∥平面ADC1.
证明如下：
如图，连接A1C交AC1于F，
则F为A1C的中点．
连接FD.
因为D是BC的中点，
所以DF∥A1B.
又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
10．如图所示，四边形EFGH为空间四面体A－BCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解 (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.
又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.
同理可证CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0<x<4)，由(1)知，＝.
则＝＝＝1－.
从而FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又0<x<4，则有8<l<12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
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