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第2课时 函数的表示方法
[A 基础达标]
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
0<x<5
5≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2，5] B．{2，3，4，5}
C．(0，20] D．N*
解析：选B.由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}．
2．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝( )
A．0 B．8
C．2 D．－2
解析：选B.因为f(x)＝x2＋bx＋c，
且f(1)＝0，f(3)＝0，
所以
解得
即f(x)＝x2－4x＋3，
所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.
3．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
解析：选B.法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－3，
所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
所以f(x)＝x2＋2x－2，
所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.
法三：令x－1＝2，所以x＝3，
所以f(2)＝32－3＝6.
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( )
A.x＋5 B.x＋1
C．2x－3 D．2x＋1
解析：选A.因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，
整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，
所以所以
所以f(x)＝x＋5，故选A.
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．
则正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．
6．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________．
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
解析：由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，
则f(g(2))＝f(1)＝2.
答案：2
7．(2019·莆田检测)函数y＝x2＋2x－3在区间[－3，0]上的值域为________．
解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1，
因为x∈[－3，0]，
所以当x＝－3时，ymax＝0，
当x＝－1时，ymin＝－4.
函数的值域为[－4，0]．
答案：[－4，0]
8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
答案：2
9．已知函数p＝f(m)的图像如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由题图知值域为[－2，2]．
(3)由题图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2, h(1)＝－3.求：
(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值．
解：(1)设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，
h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)＝2，h(1)＝－3，
所以k1＝2，k2＝－3.
所以f(x)＝2x2－，
定义域是(0，＋∞)．
(2)由(1)，得f(4)＝2×42－＝.
[B 能力提升]
11．已知f＝(x≠－1)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x≠－1)
B．f(x)＝－(x≠－1)
C．f(x)＝(x≠－1)
D．f(x)＝－(x≠－1)
解析：选C.设＝t，则x＝(t≠－1)，所以f(t)＝＝＝，即f(x)＝(x≠－1)．故选C.
12．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：选B.因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
13．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图像如图所示：
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(1)＞f(0)＞f(3)．
(2)由图像可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
[C 拓展探究]
14．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
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