2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

6.2.3　平面向量的坐标及其运算
课后篇巩固提升
夯实基础
1.已知点A(1,0),B(3,2),则AB=(　　)
A.(0,-1) B.(1,-1)
C.(2,2) D.(-1,0)
答案C
解析因为A(1,0),B(3,2),所以AB=(2,2).故选C.
2.在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(　　)
A.25 B.525 C.35 D.725
答案B
解析由题意知:BC中点为D32,6,
∴AD=-52,5,∴|AD|=254+25=552.
故选B.
3.已知向量a,b满足a=(1,2),b=(2,0),则2a+b=(　　)
A.(4,4) B.(2,4) C.(2,2) D.(3,2)
答案A
解析由题得2a+b=(2,4)+(2,0)=(4,4).
故选A.
4.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|=(　　)
A.32 B.3 C.x1x2 D.5
答案A
解析因为a=(1,-3),b=(-2,0),
所以a+2b=(-3,-3),
因此|a+2b|=9+9=32.故选A.
5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的取值范围是(　　)
A.[-1,1] B.[-2,2]
C.[0,2] D.[2,+∞)
答案B
解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,
∴2(y2-2)-(-1)x2=0,
∴x2=4-2y2≥0,
整理得y2≤2,解得-2≤y≤2.
∴y的取值范围是[-2,2].
故选B.
6.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y为正数,则3x+2y的最小值是(　　)
A.53 B.83 C.16 D.8
答案D
解析因为a∥b,所以3(y-1)=-2x,即2x+3y=3,那么3x+2y=133x+2y(2x+3y)=1312+9yx+4xy≥1312+29yx·4xy=8,等号成立的条件为9yx=4xy时,2x=3y,2x+3y=3,解得x=34,y=12.所以原式的最小值为8,故选D.
7.若A(1,2),B(a,-2),C(3,1-a)三点共线,则a=　　　　　. 
答案-3
解析依题意,得AB=(a-1,-4),AC=(2,-1-a).由AB∥AC,得(a-1)(-1-a)=(-4)×2,所以a2=9,解得a=±3.经检验知a=-3满足题意.
8.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　　. 
答案2
解析因为a=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1)因为|a-b|=|a+b|,所以有(x-1)2+9=(x+1)2+1⇒x=2.
9.已知OA=(1,1),OB=(3,-1),OC=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若AC=2AB,求点C的坐标.
解由题意知,AB=OB-OA=(2,-2),AC=OC-OA=(a-1,b-1).
(1)∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC,
∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,
∴a+b=2.
(2)∵AC=2AB,
∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),
∴a-1=4,b-1=-4,解得a=5,b=-3.
∴点C的坐标为(5,-3).
10.已知向量a=(3,2),b=(-1,2).
(1)求|a-2b|的值;
(2)若3a-b与a+kb共线,求实数k的值.
解(1)a-2b=(5,-2),
∴|a-2b|=52+(-2)2=29.
(2)3a-b=(10,4),a+kb=(3-k,2+2k),
∵3a-b与a+kb共线,
∴10(2+2k)-4(3-k)=0.
解得:k=-13.
能力提升
1.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=(　　)
A.-32a-12b B.-32a+12b
C.-12a+32b D.12a-32b
答案D
解析∵a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),
∴a,b不共线,
故选取a,b作为一组基向量,则c=xa+yb.
即(-1,2)=x(1,1)+y(1,-1).
所以x+y=-1,x-y=2,解得x=12,y=-32.
所以c=12a-32b,故选D项.
2.已知向量a=sinα,12,b=12,cos α0<α<π4,且a∥b,则cosα+π4=(　　)
A.12 B.-12 C.-32 D.32
答案A
解析向量a=sinα,12,b=12,cosα,且a∥b,
所以根据向量平行的坐标运算可得,
sinαcosα=12×12,由正弦二倍角公式化简可得sin2α=12.
因为0<α<π4,所以α=π12.
则cosα+π4=cosπ12+π4=cosπ3=12.
故选A.
3.事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10的最小值为(　　)
A.32 B.42 C.52 D.72
答案C
解析f(x)=x2+4x+20+x2+2x+10
=(x+2)2+(0-4)2+(x+1)2+(0+3)2,
表示平面上点M(x,0)与点N(-2,4),H(-1,-3)的距离和,
连接NH,与x轴交于M(x,0),
由题得kMN=kNH,∴0-4x+2=4+3-2+1,∴x=-107,
所以M-107,0,
∴f(x)的最小值为(-2+1)2+(4+3)2=52,
故选C.
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　. 
答案-2
解析∵ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),
由于向量ma+4b与a-2b共线,
所以,-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
5.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).
(1)当k为何值时,a∥(b+c);
(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.
解(1)向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),
∴b+c=(10,k+7),
令1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,
∴当k=13时,a∥(b+c).
(2)当k=1时,b=(2,1),
设c=ma+nb,
即(8,7)=(m+2n,2m+n),
∴m+2n=8,2m+n=7,
解得m=2,n=3.
6.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:
(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.
解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-1613.
(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=1,
解得x=4+55,y=1+255,或x=4-55,y=1-255.
∴d=4-55,-255+1或4+55,255+1.
7.已知向量m=sinA,12与n=(3,sin A+3cos A)共线,其中A是△ABC的内角.
(1)求角A的大小;
(2)若BC=2,求△ABC面积S的最大值,并判断S取得最大值时△ABC的形状.
解(1)因为m∥n,
所以sinA·(sinA+3cosA)-32=0.
所以1-cos2A2+32sin2A-32=0,
即32sin2A-12cos2A=1,
即sin2A-π6=1.
因为A∈(0,π),所以2A-π6∈-π6,11π6.
故2A-π6=π2,A=π3.
(2)由余弦定理,得4=b2+c2-bc,
又S△ABC=12bcsinA=34bc,
而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4,(当且仅当b=c时等号成立)
所以S△ABC=12bcsinA=34bc≤34×4=3.
当△ABC的面积取最大值3时,b=c.又A=π3,故此时△ABC为等边三角形.

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