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第六章 平面向量初步单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
答案 C
解析 因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案 A
解析 ＝－，＝(－4，－3)，＝(3,1)，故＝(－7，－4)．
3．设a，b是共线的单位向量，则|a＋b|的值( )
A．等于2 B．等于0
C．大于2 D．等于0或等于2
答案 D
解析 ∵a与b是共线的单位向量，∴当两个向量同向时，|a＋b|＝2|a|＝2；当两个向量反向时，|a＋b|＝0；综上所述，故选D．
4．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
答案 D
解析 ∵c∥d，∴设c＝λd，则ka＋b＝λa－λb，
∴
∴k＝－1，λ＝－1，∴c＝－d，∴k＝－1且c与d反向．
5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案 D
解析 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，则6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
6．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
答案 D
解析 由题意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
7．已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
答案 C
解析 因为－＋＝＋＋＝＋＝0，所以－＋＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点．故选C．
8．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A． B．
C．－3 D．0
答案 D
解析 如图，连接AD，∵＝2，
∴＝，又＝－，∴＝－，
∴＝－，又＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.故选D．
9．O为平面上一动点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足＋＝λ≠0(λ∈R)，则O点的轨迹必过△ABC的( )
A．垂心 B．外心
C．内心 D．重心
答案 D
解析 如图，设D为AB边的中点，＋＝2，∴2＝λ，∴点O在△ABC底边AB的中线上．故选D．
10．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 D
解析 ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
11．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N.若A＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1 B．
C． D．
答案 C
解析 ∵＝，∴AD＝AB．∵DE∥BC，∴AE＝AC．又∵M为BC的中点，∴N为DE的中点．∴ ＝(＋)＝＝＋，∴x＝y＝，
∴x＋y＝＋＝.
12．如图所示，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
答案 C
解析 如图，连接BP，
则＝＋＝b＋， ①
＝＋＝a＋－. ②
①＋②，得2＝a＋b－. ③
又∵＝ ＝(－A)
＝， ④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋B．故选C．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
答案 (－1,1)或(－3,1)
解析 由于|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，所以a＋b＝(1,0)或(－1,0)，则a＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
14．如图，直线l上依次有五个点A，B，C，D，E，满足AB＝BC＝CD＝DE，如果把向量A作为单位向量e，那么直线上向量D＋C的坐标为________．
答案 －1
解析 由题意得，DA＝3AB，CE＝2AB，可得＝－3，＝2，故可得＋＝－3＋2＝－＝－e，故直线上向量＋的坐标为－1.
15．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为________m/s.
答案
解析 设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40 m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝ (m/s)．
16.＝(sinθ，－1)，＝(2sinθ，2cosθ)，其中θ∈，则||的最大值为________．
答案 3
解析 ＝－＝(sinθ，2cosθ＋1)⇒||
＝＝
＝，
∴当cosθ＝1，即θ＝0时，||取得最大值，最大值为3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是，的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量，，在此基底下的分解式．
解 如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1
＝e2.
18．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
解 (1)证明：＝a＋b，
＝＋＋＝6a＋6b，
显然＝.故∥，
又与有公共点A，
故点A，B，D三点共线．
(2)若ka＋b∥2a＋kb，必存在实数λ，使得ka＋b＝λ(2a＋kb)，
整理ka＋b＝2λa＋λkb，
又a与b不共线，
得＝即k＝±.
当k＝时，ka＋b＝a＋b,2a＋kb＝2a＋b，
此时ka＋b∥2a＋kb，
同理可验证k＝－时亦符合题意．
故k＝±.
19．(本小题满分12分)已知△ABC内一点P满足＝λ＋μ，若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3，△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．
解
如图，过点P作PM∥AC，PN∥AB，分别交AB，AC于点M，N，则＝＋，所以＝λ，＝μ.作PG⊥AC于点G，BH⊥AC于点H，因为＝，所以＝.又因为△PNG∽△BAH，所以＝＝，即＝，所以λ＝，同理μ＝.
20．(本小题满分12分)已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
证明 设＝a，＝b为基底．
由已知得＝la，＝mb，
∵＝＋＝－a－b，∴ ＝n＝－na－nb，
∴＝＋B＝(l－1)a－b，①
＝B＋＝a＋mb，②
＝＋＝－na＋(1－n)b，③
将①②③代入＋＋＝0，得
(l－n)a＋(m－n)b＝0，
∵a，b不共线，∴l－n＝0，m－n＝0，
即l＝m＝n.
21．(本小题满分12分)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量D．
解 (1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)，
∴∴
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
∴
解得或
所以d＝或d＝.
22．(本小题满分12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解 (1)＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，
＝(6,2x)－(2，x)＝(4，x)．
若向量与共线，则x2－4×1＝0，故x＝±2.
∴当x＝±2时，向量与共线．
(2)当x＝2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，
＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)，
＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．
∵2×2－0×1≠0，
∴向量与不共线，
∴点A，B，C不在一条直线上，
∴点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，A(－2,0)，B(－4,1)，C(2，－2)，
＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，
＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．
∵(－2)×(－2)－4×1＝0，
∴向量与共线，∵AB与AC有公共点A，
∴点A，B，C在一条直线上．
又∵向量与共线，∴AB与CD平行或重合．
又A，B，C在一条直线上，
∴点A，B，C，D在一条直线上．
综上，当x＝2时，向量与共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，向量与共线，且点A，B，C，D在一条直线上．
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