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课时作业18 复数的加、减运算及其几何意义
知识点一 复数的加减运算
1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．
2．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有( )
A．a＝1 B．a＝
C．a＝0 D．a＝－1
答案 D
解析 ∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0,2a－1≠0，∴a＝－1.
知识点二 复数加减运算的几何意义
3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为( )
A．5 B.
C. D.
答案 B
解析 对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，
∵＝＋，
∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD的长为.
4．已知复数z1对应的向量的终点在第二象限，复数z2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.
5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝的点的集合是( )
A．正方形 B．直线
C．线段 D．圆
答案 C
解析 |z－2i|＋|z＋1|＝表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.
6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．
答案 2
解析 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
知识点三 复数加减运算几何意义的应用
7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 A
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案 A
解析 |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.
9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋i＋z|的取值范围是( )
A．[1,3] B．[1,4]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 D
解析 复数z对应的点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－)的距离．
因为(－1，－)在|z|＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．
10．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足|z－i|2－5|z－i|＋6<0的点Z的集合是什么图形？
解 ∵|z－i|2－5|z－i|＋6<0，∴(|z－i|－2)(|z－i|－3)<0，∴2<|z－i|<3.不等式|z－i|<3的解集是圆|z－i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z－i|>2的解集是圆|z－i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z－i|<3的点Z的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．
一、选择题
1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝( )
A．－8i B．13＋8i
C．8＋13i D．13－12i
答案 D
解析 原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.故选D.
2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝( )
A．－1＋2i B．－2－2i
C．1＋2i D．1－2i
答案 B
解析 由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.故选B.
3．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
答案 D
解析 ∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1－2)i＝5＋3i.
4．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于( )
A．5 B. C. D.
答案 B
解析 依据复数加法、减法的几何意义可得＝(－1,1)，＝(3,2)，所以＝＋＝(2,3)，所以|BD|＝||＝＝.
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
二、填空题
6．设a为非零实数，则
(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z是________；
(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z是________．
答案 (1)纯虚数也可能是零 (2)实数
解析 (1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在虚轴上，这样的复数z可能是纯虚数也可能是零．
(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a)与点(0，a)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在实轴上，复数z一定是实数．
7．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝________.
答案 －2i
解析 解法一：∵f(z＋i)＝3z－2i＝3z＋3i－5i＝3(z＋i)－5i，则f(x)＝3x－5i，
∴f(i)＝3i－5i＝－2i.
解法二：令z＝0可得f(i)＝－2i.
8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的集合是________．
答案 直线
解析 设z＝x＋yi，x，y∈R，
由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得
＝，
化简可得3x－4y＝0，
所以复数z在复平面上对应点的集合是一条直线．
三、解答题
9．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解 设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.
10．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求B对应的复数；
(2)求B对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
解 (1)由于＝＋＝＋，
所以＝－.
故对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，
＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
所以cos∠DAB＝＝＝.
因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积
S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.
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