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课时跟踪检测（七） 全称量词与存在量词
A级——学考水平达标练
1．下列命题中为存在量词命题的是( )
A．所有的整数都是有理数
B．每个三角形至少有两个锐角
C．有些三角形是等腰三角形
D．正方形都是菱形
解析：选C A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．∀x∈R,2x＋1>0
B．若2x为偶数，则∀x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
解析：选C 对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；
对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：选D 原命题是全称量词命题，其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
4．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则綈p是( )
A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
解析：选B 存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根的否定为“∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”．
5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
解析：选B ∵p为假命题，
∴綈p为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，
∴1－a≤0，则a≥1.
∴a的取值范围是{a|a≥1}，故选B.
6．下列命题中的全称量词命题是________；存在量词命题是________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．
答案：①③ ②④
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
答案：任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
8．下列四个命题：
①有些不相似的三角形面积相等；
②∃x∈Q，x2＝2；
③∃x∈R，x2＋1＝0；
④有一个实数的倒数是它本身．
其中真命题的个数为________．
解析：只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，∴①为真命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．④中1的倒数是它本身，∴④为真命题．∴①④均为真命题．
答案：2
9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)有理数都是实数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋＞2.
解：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题．
(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，且为假命题，当x＝1时，x＋＝2.
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)可以被5整除的数，末位是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除；
(3)非负数的平方为正数；
(4)有的四边形没有外接圆；
(5)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3.
解：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为有些可以被5整除的数，末位不是0，这是真命题．
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为存在一个能被3整除的数，不能被4整除，这是真命题．
(3)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．
(4)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题．
(5)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有x＋y≠3”．
因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
所以原命题为真，命题的否定为假命题．
B级——高考水平高分练
1．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．
而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．
∴两位同学题中m的范围是一致的．
答案：是
2．下列命题：
①存在x<0，x2－2x－3＝0；
②对一切实数x<0，都有|x|>x；
③∀x∈R，＝x；
④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为________．
解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；
②显然为真命题；
③＝|x|＝故③为假命题；
④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．
答案：①②
3．设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R，q(x)”(至少用5种)．
解：存在实数x，使x2＝x成立；
至少有一个x∈R，使x2＝x成立；
对有些实数x，使x2＝x成立；
有一个x∈R，使x2＝x成立；
对某个x∈R，使x2＝x成立．
4．命题“ ＝”是全称量词命题吗？如果是，请给予证明．如果不是，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．
解：存在1＋b<0使得命题“ ＝”不成立．
故不是全称量词命题，增加“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．
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