资源描述
5.1.2 数据的数字特征
课后篇巩固提升
夯实基础
1.一组数据分别为12,16,20,23,20,15,28,23,则这组数据的中位数是( )
A.19 B.20 C.21.5 D.23
答案B
解析将题中所给的数据按从小到大排列可得12,15,16,20,20,23,23,28,中间的两个数均为20,所以这组数据的中位数为20.故选B.
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-8,-1,4,x,10,13,且这组数据的中位数是7,那么这组数据的众数是( )
A.7 B.6 C.4 D.10
答案D
解析因为-8,-1,4,x,10,13的中位数是7,
所以12(x+4)=7,所以x=10,
所以这组数据的众数是10,故选D.
3.10名工人生产某一零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
答案D
解析依题意,
a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710=14.7,中位数b=15,众数c=17,故c>b>a,故选D.
4.在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
答案D
解析A样本的每个数据都加上6后形成B样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的标准差相等.故选D.
5.某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是( )
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
答案C
解析依题意,x=200,y=100+200+3003=200,第四年收入为600万元,故在这四年的收入中,中位数为200+3002=250=1.25x,平均数为100+200+300+6004=300=1.5y,故选C.
6.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7 8 10 9 8 8 6
乙:9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是( )
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
答案D
解析甲命中的环数的平均数为x甲=17(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的环数的平均数为x乙=17(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射击的平均成绩相等,故A,C均错误;
甲射击的成绩的众数是8,乙射击的成绩的众数是7,
所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,故B错误;
甲射击的成绩的极差为10-6=4,乙射击的成绩的极差为10-7=3,
所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,故选D.
7.一组数据175,177,174,175,174的方差为 .
答案65
解析x=175+177+174+175+1745=175,
所以s2=15[(175-175)2+(177-175)2+(174-175)2+(175-175)2+(174-175)2]=15(02+22+12+02+12)=65.
8.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 .
答案4
解析由题意可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8.设x=10+t,y=10-t,则2t2=8,解得t=±2,
所以|x-y|=2|t|=4.
9.(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,会改变的数字特征是( )
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
答案BCD
10.某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个,大一、大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队去参加机器人大赛,现用分层抽样的方法,从以上团队中抽取20个团队.
(1)应从大三抽取多少个团队?
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的分数如下.
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142.
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140.
从甲、乙两组中选一组进行强化训练,备战机器人大赛.从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?若选择乙组,理由是什么?
解(1)由题知,大三团队个数占总团队数的3001000=310,则用分层抽样的方法,应从大三中抽取20×310=6(个)团队.
(2)甲组数据的平均数x甲=130,乙组数据的平均数x乙=131,甲组数据的方差s甲2=104.2,乙组数据的方差s乙2=128.8,选甲队理由:甲、乙两队平均数相差不大,且s甲2<s乙2,甲队成绩波动小.
选乙队理由:x甲<x乙,且乙队中不低于140分的团队多,在竞技比赛中,高分团队获胜的概率大.
能力提升
1.某小组10名学生参加的一次数学竞赛的成绩分别为92,77,75,90,63,84,99,60,79,85,求这组数据的平均数μ、中位数m、方差s2和标准差s.(列式并计算,结果精确到0.1)
解平均数μ=
92+77+75+90+63+84+99+60+79+8510=80.4.
10名学生的成绩按自低到高排列为60,63,75,77,79,84,85,90,92,99,则中位数m=79+842=81.5.
方差s2=110[(92-80.4)2+(77-80.4)2+(75-80.4)2+…+(85-80.4)2]≈136.8.
标准差s=s2=136.8≈11.7.
2.(多选)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,方差是12,那么另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数、方差分别是( )
A.5 B.3 C.12 D.2
答案AD
解析因为数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,方差是12,所以x=3,15∑i=15(xi-3)2=12,
因此数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为15∑i=15(2xi-1)=2×15∑i=15xi-1=5,方差为15∑i=15(2xi-1-5)2=15∑i=15(2xi-6)2=4×15∑i=15(xi-3)2=4×12=2.选AD.
3.某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
用s12,s22分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,则s12= ,s22= ,并由此可判断成绩更稳定的班级是 班.
答案22 62 甲
解析根据表中数据,计算甲班的平均数为x1=15×(8+11+14+15+22)=14,
乙班的平均数为x2=15×(6+7+10+23+24)=14;
甲班的方差为s12=15×[(8-14)2+(11-14)2+(14-14)2+(15-14)2+(22-14)2]=22,
乙班的方差为s22=15×[(6-14)2+(7-14)2+(10-14)2+(23-14)2+(24-14)2]=62,所以s12<s22,
由此可判断成绩更稳定的班级是甲班.
4.某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分120,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好?
解(1)甲学校人民满意度的平均数为x甲=96+112+97+108+100+103+86+988=100,
甲学校人民满意度的中位数为100+982=99;
乙学校人民满意度的平均数为x乙=108+101+94+105+96+93+97+1068=100,
乙学校人民满意度的中位数为101+972=99.
(2)甲学校人民满意度的方差s甲2=42+122+32+82+0+32+142+228=55.25;
乙学校人民满意度的方差s乙2=82+12+62+52+42+72+32+628=29.5.
(3)由(1)(2)知甲乙两学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,而乙学校人民满意度的方差小于甲学校人民满意度的方差,所以乙学校人民满意度比较好.
5.现有同一型号的电脑96台,为了了解这种电脑每开机一次所产生的辐射情况,从中抽取10台在同一条件下做开机实验,测量开机一次所产生的辐射,得到如下数据.
13.7 12.9 14.4 13.8 13.3
12.7 13.5 13.6 13.1 13.4
(1)写出采用简单随机抽样抽取上述样本的过程;
(2)求样本的平均数与标准差.
解(1)利用随机数表法或抽签法.具体过程如下:
方法一(抽签法):
①将96台电脑随机编号为1~96;
②将以上96个号码分别写在96张相同的小纸条上,揉成小球,制成号签;
③把号签放入一个不透明的容器中,充分搅拌均匀;
④从容器中逐个抽取10个号签,每次取完后再次搅拌均匀,并记录上面的号码;
⑤找出和所得号码对应的10台电脑开机一次所产生的辐射组成样本.
方法二(随机数表法):
①将96台电脑随机编号,编号为00,01,02,…,95;
②在随机数表中任选一数作为开始,然后依次向右读,每次读两位,凡不在00~95中的数和前面已读过的数跳过不读,直到读出10个符合条件的数;
③这10个数所对应的10台电脑开机一次所产生的辐射即是我们所要抽取的样本.
(2)x=13.7+12.9+…+13.1+13.410=13.44;
s2=
[(13.7-13.44)2+(12.9-13.44)2+…+(13.4-13.44)2]10
=0.2124.
6.质检过后,某校为了解各班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级600名理科生中抽取100名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为000,001,002,…,599.
(1)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读,请依次写出抽取的前5人的后三位考号;
(2)如果题(1)中随机抽取到的5名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩
87
91
90
89
93
物理成绩
89
90
91
88
92
求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定.
附:(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
……
16 27 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 04 03 72 93 15 31 02 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
……
解(1)抽取的前5人的后三位考号分别为310,403,315,210,142.
(2)由题中数据可得x数学=87+91+90+89+935=90,x物理=89+90+91+88+925=90,
∴s数学2=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,
s物理2=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,
由s数学2>s物理2,可知物理成绩更稳定.
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