资源描述
5.4 统计与概率的应用
课后篇巩固提升
夯实基础
1.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,则至少有一人破译出密码的概率是( )
A.12 B.512 C.1112 D.14
答案A
解析设甲译出密码为事件A,乙译出密码为事件B,则事件A与B相互独立,所以至少有一人破译出密码的概率为P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=13×1-14+1-13×14+13×14=12.
2.一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,则检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为( )
A.0.81 B.0.82 C.0.90 D.0.91
答案B
解析∵一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,∴检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率是0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故选B.
3.某高一学生为了获得某名校的荣誉毕业证书,在“体音美2+1+1项目”中学习游泳.他每次游泳测试达标的概率都为60%,现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次达标的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示未达标,5,6,7,8,9,0表示达标;再以每三个随机数为一组,代表三次测试的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
917 966 891 925 271 932 872 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 507 989
据此估计,该同学三次测试恰有两次达标的概率为( )
A.0.50 B.0.40 C.0.43 D.0.48
答案A
解析因为这20个数据中符合条件的有917,891,925,872,458,683,257,027,488,730,共10个,所以所求事件的概率为1020=0.5,故选A.
4.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为( )
A.16 B.14 C.13 D.12
答案D
解析①甲、乙在同一组的概率P1=13.
②甲、乙不在同一组,但相遇的概率P2=23×12×12=16.
所以甲、乙相遇的概率P=13+16=12.故选D.
5.如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K,A1,A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.960 B.0.864
C.0.720 D.0.576
答案B
解析A1,A2同时不能正常工作的概率为0.2×0.2=0.04,所以A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864.故选B.
6.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.34 B.23 C.57 D.512
答案D
解析设甲、乙获一等奖的概率分别是P(A)=23,P(B)=34,
则P(A)=1-23=13,P(B)=1-34=14,
所以这两人中恰有一人获得一等奖的概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=13×34+23×14=512.故选D.
7.某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则淋雨的概率是 .
答案14
解析由题意知,下雨的概率为12,不下雨的概率为12,准时收到帐篷的概率为12,不能准时收到帐篷的概率为12.当下雨且不能准时收到帐篷时会淋雨,所以淋雨的概率为12×12=14.
8.为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X≥85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图.
(1)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;
(2)从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;
(3)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率,根据以往培训数据,规定当Px-8510≤1≥0.5时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.
解(1)由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀,
所以估计这名学生考核优秀的概率为730.
(2)设从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人,
至少有一人考核成绩优秀为事件A,
因为图中成绩在[80,89]的6人中有2个人考核优秀,所以样本空间Ω包含15个样本点,事件B包含9个样本点,所以P(A)=915=35.
(3)根据图中的数据知,满足x-8510≤1的成绩有16个,所以Px-8510≤1=1630=815>0.5,
所以可以认为此次冰雪培训活动有效.
能力提升
1.春节期间支付宝开展了集福活动,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为 ,小张再扫三次才可以集齐五福的概率为 .
答案225 14125
解析(1)由题意可得小张扫第一次得到爱国福或敬业福,概率为P1=25,
扫第二次得到另外一张福卡的概率P2=15,
则小张再扫两次可以集齐五福的概率为P=P1P2=225.
(2)由题意可得小张扫三次,前两次只得爱国福与敬业福中的一个的概率为P3=25×35+35×25+25×15=1425,第三次得另一张卡片的概率为P2=15,则小张再扫三次才可以集齐五福的概率为P=P3P4=14125.
2.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14,该市足球队夺得全省足球冠军的概率为 .
答案1928
解析该市甲队夺取冠军与乙队夺取冠军是互斥事件,分别记为事件A,B,
该市甲、乙两支球队夺取全省足球冠军是事件A∪B发生,
根据互斥事件的概率加法公式得到P(A∪B)=P(A)+P(B)=37+14=1928.
3.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其意为“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱”,则丙应出 钱(所得结果四舍五入,保留整数).
答案17
解析依照钱的多少按比例出钱,所以丙应该出180560+350+180×100=1801090≈17(钱).
4.交强险是车主为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和费率浮动比率表
浮动因素
浮动比率
A
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
B
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
C
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
D
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
E
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
F
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型
A
B
C
D
E
F
数量
10
13
7
20
14
6
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6 000元,一辆非事故车盈利10 000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列各题:
①若该销售商店内有7辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选2辆,求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次性购进70辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).
解(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为14+670=27.
(2)①由统计数据可知,该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车,设为b1,b2,5辆非事故车,设为a1,a2,a3,a4,a5.从7辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b1,a5),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(b2,a5),(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5),共21种.其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1,a1),(b1,a2),(b1,a3),(b1,a4),(b1,a5),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,a4),(b2,a5),共10种,所以该顾客在店内随机挑选2辆车,这2辆车恰好有一辆事故车的概率为1021.
②由统计数据可知,该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆,非事故车50辆,所以一辆车盈利的平均值为170[(-6000)×20+10000×50]=380007(元).
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