2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十五一元二次不等式的解法新人教B版必修第一册.doc

课时素养评价
十五　一元二次不等式的解法

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是 (　　)
A.{m|-1<m<1}
B.{m|-2<m<2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|m<-1或m>1}
【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，所以Δ=m2-4>0，解得m>2或m<-2.
【加练·固】
　　 已知全集U=R，集合A={x|x2-2x>0}，则UA等于 (　　)
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|0<x<2}
C.{x|x<0或x>2}
D.{x|x≤0或x≥2}
【解析】选A.因为A={x|x<0或x>2}，所以UA={x|0≤x≤2}.
2.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x2-x-6<0}，
则M∩N= (　　)
A.{x|-4<x<3}
B.{x|-4<x<-2}
C.{x|-2<x<2}
D.{x|2<x<3}
【解析】选C.由题意得，N={x|-2<x<3}，则M∩N={x|-2<x<2}.
3.(多选题)下列四个不等式中解集为R的是 (　　)
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.-2x2+3x-4<0
D.x2+6x+10>0
【解析】选CD.对于C项，不等式可化为x2-x+2>0，所以>-，所以-2x2+3x-4<0的解集为R；对于D项，不等式可化为(x+3)2>-1，所以x2+6x+10>0的解集为R.
4.关于x的不等式<0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围是(　　)
A.m<0 B.m>0
C.m≠0 D.不确定
【解析】选B.因为0∈M，所以<0.所以m>0.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2-x1=15，则a=________. 
【解析】由x2-2ax-8a2<0，
得(x+2a)(x-4a)<0，
因为a>0，则4a>-2a，
所以不等式的解集为(-2a，4a)，
即x2=4a，x1=-2a，
由x2-x1=15，
得4a-(-2a)=15，解得a=.
答案：
6.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达
7 000万元，则x的最小值是________. 
【解析】由已知，
3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤-3.2(舍去).
所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
三、解答题(共26分)
7.(12分)解不等式-1<x2+2x-1≤2.
【解析】原不等式可化为
即即
所以

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为
{x|-3≤x<-2或0<x≤1}.
8.(14分)某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.

【解析】设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800-2x)m，宽为(600-2x)m，
根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥×800×600，
整理得x2-700x+60 000≥0，
解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知 x>0，所以0<x≤100.
当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)不等式<2的解集为 (　　)

A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
【解析】选A.因为x2+x+1=+>0，
所以原不等式可化为x2-2x-2<2(x2+x+1)，化简得x2+4x+4>0，
即(x+2)2>0，
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.
2.(4分)已知x1，x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，则+的最大值为 (　　)
A.18 B.19 C. D.不存在
【解析】选A.由方程有两个实数根得，Δ≥0，
即(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0.
解得-4≤k≤-，
又+=(x1+x2)2-2x1x2=-(k+5)2+19，
所以当k=-4时，+有最大值，最大值为18.
3.(4分)若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________.  
【解析】由题意可知不等式ax2-6x+a2=0可化为a(x-1)(x-m)<0的形式且a>0，
所以解得m=2，所以a=2.
答案：2　2
4.(4分)某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________　.  
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，
则y=2 400×t%
=60(8t-t2).
令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3，5]
5.(14分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a，b的值.
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1) 因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，b>1且a>0.
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0，即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}；
当c=2时，不等式(x-2)(x-c)<0的解集为.

1.在R上定义运算：x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，则 (　　)

A.-1<a<1 B.0<a<2
C.-<a< D.-<a<
【解析】选C.依题意得x-a-x2+a2<1恒成立，即+>0恒成立⇔a2-a-<0恒成立⇔-<a<.
2.当0≤x≤2时不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立，试求t的取值范围.

【解析】令y=x2-3x+2，0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=-，
所以函数在[0，2]上取得最小值为-，最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0，2]上恒成立，
则即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.

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