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第五章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 ∵r＝＝5，∴cosθ＝，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－.
2．若－＜α＜0，则点P(tanα，cosα)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵－＜α＜0，∴tanα＜0，cosα＞0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限．
3．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3 B．6 C．18 D．36
答案 C
解析 根据题意，得该圆的半径为＝6，由扇形的面积公式，得S扇＝×6×6＝18.故选C.
4．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 对sinθ＋cosθ＝两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，所以2sinθcosθ＝，因为0＜θ＜，所以sinθ－cosθ＜0，则有sinθ－cosθ＝－
＝－＝－＝－.故选C.
5．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 ∵＋＝π，
∴－α＝π－，
∴sin＝sin＝sin＝.
6．函数f(x)＝3sin的图象为C.
①图象C关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间上单调递增；
③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①f＝3sin＝3sin＝－3，
∴直线x＝为对称轴，①正确；
②由－＜x＜⇒－＜2x－＜，
由于函数y＝3sinx在上单调递增，
故函数f(x)在上单调递增，②正确；
③f(x)＝3sin，而由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin的图象，得不到图象C，③错误．
7．函数y＝2tan，x∈的值域是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[－2，2] D．[－，1]
答案 C
解析 ∵x∈，∴x－∈，∴y＝2tan∈[－2，2]，故选C.
8．若函数g(x)＝asinxcosx(a>0)的最大值为，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝0 B．x＝－
C．x＝－ D．x＝－
答案 B
解析 g(x)＝sin2x(a>0)的最大值为，所以a＝1，f(x)＝sinx＋cosx＝sin，令x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z.故选B.
9．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是( )
A. B．－ C．－2 D．2
答案 A
解析 由＝5，得＝5，即tanα＝2，∴sin2α－sinαcosα＝＝＝.
10．函数f(x)＝cos2x＋sinx的最大值与最小值之和为( )
A. B．2 C．0 D.
答案 A
解析 f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－2＋，
∵－≤x≤，∴－≤sinx≤.
当sinx＝－时，f(x)min＝；
当sinx＝时，f(x)max＝，
∴f(x)min＋f(x)max＝＋＝.
11．已知tanθ和tan是方程x2＋ax＋b＝0的两根，那么a，b间的关系是( )
A．a＋b＋1＝0 B．a＋b－1＝0
C．a－b＋1＝0 D．a－b－1＝0
答案 C
解析 由已知条件，得tanθ＋tan＝－a，
tanθtan＝b.
∴tan＝1＝tan＝＝.∴－a＝1－b即a－b＋1＝0.
12．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，且在区间上单调递减的φ的一个值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)
＝2
＝2
＝2sin为奇函数，
所以φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，排除A，D.当φ＝时，y＝2sin(2x＋2π)＝2sin2x，在上单调递增，故B错误．当φ＝时，y＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x，在上单调递减，故C正确．选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知tanα＝－，＜α＜π，那么cosα－sinα的值是________．
答案 －
解析 因为＜α＜π，所以cosα＜0，sinα＞0，
所以cosα＝－＝－
＝－＝－＝－.
sinα＝，所以cosα－sinα＝－.
14．已知α∈，且sinα＝，则sin2＋的值为________．
答案 －
解析 ∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－.
∴sin2＋＝＋
＝＋2sinαcosα＝－.
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 在同一坐标系中作出f(x)与y＝k的图象：
观察图象知0<k<1.
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)
答案 ①②③
解析 f(x)＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝sin＋cos
＝sin＝sin.
∴f(x)max＝，T＝＝π.
x∈时，2x＋∈，函数单调递减．
y＝cos2x向左平移个单位长度后得到
y＝cos＝cos
＝cos＝sin
＝sin与已知图象不重合．故①②③正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
解 因为cosθ＝，θ∈(π，2π)，
所以sinθ＝－，tanθ＝－，
所以sin＝sinθcos－cosθsin
＝－×－×＝－，
tan＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知tanα＝－.
(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；
(2)求
的值．
解 (1)2＋sinαcosα－cos2α
＝
＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝－＝－tanα＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2－sin·cos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
解 (1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以sin2α＝－cos＝－cos＝1－2cos2＝1－＝.
20．(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解 (1)f(t)＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.
在10时至18时实验室需要降温．
21. (本小题满分12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解 (1)把(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)中，得
cosθ＝.
∵0≤θ≤，∴θ＝.
∵T＝π，且ω＞0，∴ω＝＝＝2.
(2)∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为.
∵点P在y＝2cos的图象上，
且≤x0≤π，
∴cos＝，且≤4x0－≤，
∴4x0－＝或4x0－＝，
∴x0＝或x0＝.
22．(本小题满分12分)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2
＝2sin2x－(1－2sinxcosx)
＝(1－cos2x)＋sin2x－1
＝sin2x－cos2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sinx＋－1的图象，即g(x)＝2sinx＋－1.
所以g＝2sin＋－1＝.
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