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课时作业15 余弦定理、正弦定理应用举例
知识点一 距离问题
1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________．
答案 (12－4) 海里
解析 如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，
∴∠APB＝75°.
∴PA＝
＝＝4(－1)．
又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，
∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8.
于是PQ＝AQ－PA＝12－4，
∴两灯塔的距离为(12－4) 海里．
3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
答案
解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.
由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin75°＝·＝(km).
知识点二 测量高度问题
4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000 m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500 m B．200 m
C．1000 m D．1000 m
答案 D
解析 ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，
AB＝＝＝1000(m)，
∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(m)．
5．甲，乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．
答案 20 m， m
解析 如图所示：在△ABD中，
由正弦定理得
＝，
所以h甲＝AB＝20·
＝20(m)，
在△AED中，由正弦定理得＝，ED＝20(m)，在△AEC中，由正弦定理得＝，EC＝(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝(m).
知识点三 测量角度问题
6.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇．
答案 北偏东30°
解析 如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at n mile，
AC＝at n mile，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.
∵0°<∠CAB<60°，
∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
7．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
解 连接BC.在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20海里．
由正弦定理＝，
得sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，
∴cos∠ACB＝.
∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°
＝×－×＝.
易错点 忽略审题环节，看图不准确致误
8. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．
易错分析 在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．
答案 a
正解 解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，
又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.
所以AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BD＝CD·＝a·＝a，
在△ADB中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2·a·a·＝a2，
所以AB＝a.
解法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝a，
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，
所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝a.
一、选择题
1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为( )
A. B．2
C.或2 D．5
答案 C
解析 由题意及余弦定理得，()2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝或2，故选C.
2．如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是( )
A．10 km B.10 km
C．15 km D.15 km
答案 B
解析 在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝＝10(km)．
3. 如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：
≈1.732)( )
A．11.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
答案 B
解析 ∵AB＝1000×＝(km)，
∴BC＝·sin30°＝(km)．
∴航线离山顶的距离为×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B.
4．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )
A．100 m B.100 m
C．50(＋) m D.200 m
答案 A
解析 如图，由条件知，
AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)
＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(＋)(m)，
CD＝100cos75°＝25(－)(m)，
BD＝·sin60°＝25(3＋)(m)．
∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)
＝100(m)．
5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( )
A．15 m
B．20 m
C．25 m
D．30 m
答案 D
解析 设建筑物的高度为h m，由题图知，
PA＝2h m，PB＝h m，PC＝h m，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos∠PBA＝， ①
cos∠PBC＝. ②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，
即建筑物的高度为30 m.
二、填空题
6．作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为________．
答案
解析 由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡．设F3与F1之间的夹角为θ，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得
F3＝＝70 N，再由正弦定理得
＝，
即sinθ＝＝.
7．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是________ h.
答案
解析 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t h，则AB＝21t n mile，BC＝9t n mile，AC＝10 n mile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝或t＝－(舍去)．
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.
答案 cm
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，
易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°.
由正弦定理知，
x＝＝＝(cm)．
三、解答题
9.
某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．
解 在△ABC中，由余弦定理得：
cosC＝＝，
在△ABD中，由余弦定理得：
cosD＝＝.
由∠C＝∠D，得cosC＝cosD，
解得AB＝7，所以AB的长度为7米．
10．如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
解 (1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 n mile，AC＝10×2＝20(n mile)．
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，
解得BC＝28 n mile.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，BC＝28 n mile，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sinα＝＝＝.
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