1、课时作业15余弦定理、正弦定理应用举例知识点一 距离问题1如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为()A. B.C. D.答案B解析在RtADC中，AC，在ABC中，由正弦定理，得BC.2一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为_答案(124) 海里解析如图，在ABP中，AB4，ABP45，BAP60，APB75.PA4(1)又在ABQ中，ABQ454590，PAB60，AQ2AB8.于是P
2、QAQPA124，两灯塔的距离为(124) 海里3太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的距离是_km.答案解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得，BCsin15(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin75(km).知识点二 测量高度问题4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000 m到达点S，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为()A500 m B200 mC100
3、0 m D1000 m答案D解析SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1000(m)，BCABsin4510001000(m)5甲，乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_答案20 m， m解析如图所示：在ABD中，由正弦定理得，所以h甲AB2020(m)，在AED中，由正弦定理得，ED20(m)，在AEC中，由正弦定理得，EC(m)，所以h乙CDEDEC(m).知识点三 测量角度问题6.甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶已知甲船的速度是a n
4、mile/h，甲船应沿着_方向前进，才能最快与乙船相遇答案北偏东30解析如图，设经过t h两船在C点相遇，则在ABC中，BCat n mile，ACat n mile，B18060120，由，得sinCAB.0CAB60，CAB30，DAC603030.即甲船应沿北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇7如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos的值解连接BC.在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理得，B
5、C2AB2AC22ABACcos1202800，BC20海里由正弦定理，得sinACBsinBAC.BAC120，则ACB为锐角，cosACB.coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.易错点 忽略审题环节，看图不准确致误8. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为_易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三
6、角形，以此类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手答案a正解解法一：由题意知ADCADBBDC60，又因为ACD60，所以DAC60.所以ADCDACa.在BCD中，DBC1803010545，由正弦定理得，所以BDCDaa，在ADB中，由余弦定理得AB2AD2BD22ADBDcosADBa222aaa2，所以ABa.解法二：在BCD中，CBD1803010545，由正弦定理得，则BCa，在ACD中，CAD180606060，所以ACD为等边三角形因为ADBBDC，所以BD为正ACD的中垂线
7、，所以ABBCa.一、选择题1某人向正东方向走了x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为()A. B2C.或2 D5答案C解析由题意及余弦定理得，()232x223xcos30，解得x或2，故选C.2如右图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A10 km B.10 kmC15 km D.15 km答案B解析在ABC中，BC4020(km)，ABC
8、14011030，ACB(180140)65105，则A180(30105)45.由正弦定理，得AC10(km)3. 如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30，经过1 min后到达B点处看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km答案B解析AB1000(km)，BCsin30(km)航线离山顶的距离为sin75sin(4530)11.4(km)山顶的海拔为1811.46.6(km)故选B.4某工程中要将一
9、长为100 m倾斜角为75的斜坡，改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A100 m B.100 mC50() m D.200 m答案A解析如图，由条件知，AD100sin75100sin(4530)100(sin45cos30cos45sin30)25()(m)，CD100cos7525()(m)，BDsin6025(3)(m)BCBDCD25(3)25()100(m)5如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()A15 mB20 mC25 mD30 m答案D解析设建筑物的高度为h m，由题图知
10、，PA2h m，PBh m，PCh m，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.二、填空题6作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F130 N，F250 N，F1与F2之间的夹角是60，则F3与F1之间的夹角的正弦值为_答案解析由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡设F3与F1之间的夹角为，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得F370 N，再由正弦定理得，即sin.7某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45，距离为10 n mile的C处，此时得知，
11、该渔船沿北偏东105方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是_ h.答案解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在ABC中，由已知可得：ACB120，设舰艇到达渔船的最短时间为t h，则AB21t n mile，BC9t n mile，AC10 n mile，则(21t)2(9t)21002109tcos120，解得t或t(舍去)8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_.答案 cm解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易
12、知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60.由正弦定理知，x(cm)三、解答题9.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC，ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.求AB的长度解在ABC中，由余弦定理得：cosC，在ABD中，由余弦定理得：cosD.由CD，得cosCcosD，解得AB7，所以AB的长度为7米10如右图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin的值解(1)依题意可得，在ABC中，BAC18060120，AB12 n mile，AC10220(n mile)由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos120784，解得BC28 n mile.所以渔船甲的速度为14 n mile/h.(2)在ABC中，因为AB12 n mile，BAC120，BC28 n mile，BCA，由正弦定理，得.即sin.- 12 -
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