资源描述
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．关于一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况，下列说法正确的是( )
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
答案 C
解析 因为方程的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选C.
2．已知A＝{x|x2－x－12＝0}，B＝{x|x2－3x－28＝0}，则A∩B，A∪B分别为( )
A．{4}，{－3,4,7} B．{－4}，{－3，－4,7}
C．∅，{－3,4,7} D．∅，{－3,4，－4,7}
答案 D
解析 因为A＝{x|(x＋3)(x－4)＝0}＝{－3,4}，B＝{x|x2－3x－28＝0}＝{x|(x＋4)(x－7)＝0}＝{－4，7}，所以A∩B＝∅，A∪B＝{－3,4，－4,7}．故选D.
3．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2或2 D．－3或1
答案 A
解析 原一元二次方程可变为x2＋(a＋1)x＝0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ＝(a＋1)2＝0，解得a＝－1.故选A.
4．已知关于x的方程mx2－5x＋2＝0的解集为空集，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D．∅
答案 B
解析 由已知方程的解集为空集，可知m≠0，方程为一元二次方程，Δ＝(－5)2－4×m×2＝25－8m<0，即m>.故选B.
5．方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为( )
A．∅
B．{1}
C．{1－，1＋}
D．∅或{1}或{1－，1＋}
答案 D
解析 当t－2<0时，即t<2时，方程的解集为∅，当t－2＝0时，即t＝2时，方程的解集为{1}，当t－2>0时，即t>2时，方程的解集为{1－，1＋}．综上方程的解集为∅或{1}或{1－，1＋}．故选D.
二、填空题
6．方程x＋2－3＝0的解集为________．
答案 {5－2}
解析 设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2＋2y－5＝0，因此可知y＝－1＋或y＝－1－(舍去)．从而＝－1＋，即x＝5－2，所以原方程的解集为{5－2}．
7．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是________．
答案 4
解析 因为关于x的一元二次方程有实数根，所以Δ＝22－4(m－5)×2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤且m≠5，所以m的最大整数解为4.
8．已知关于x的方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号，则实数m的取值范围为________．
答案 {m|m<－2}
解析 由方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号及方程两根的积与方程系数的关系可得解得m<－2，即{m|m<－2}．
三、解答题
9．求方程(x＋)2＋a－8＝0的解集．
解 原方程可变为(x＋)2＝8－a，
当8－a>0，即a<8时，x＋＝±，
解得x＝－±，
当8－a＝0时，即a＝8时，x＋＝0，
解得x＝－；
当8－a<0，即a>8时，方程的解集为∅.
综上，方程(x＋)2＋a－8＝0的解集为：
a<8时，{－＋，－－}；
a＝8时，{－}；a>8时，∅.
10．已知方程x2－3x＋2＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
(1)xx2＋x1x；(2)－.
解 由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝3，x1x2＝2.
(1)xx2＋x1x＝x1x2(x＋x)
＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]
＝2×[(3)2－2×2]＝2×23＝46.
(2)－＝＝
＝±＝±.
B级：“四能”提升训练
1．求关于x的方程－＋a＝0的解集．
解 设＝y，则y>0，原方程可变为y2－2y＋a＝0，
(y－1)2＝1－a，当1－a>0，
即a<1时，y－1＝±，y＝1±；
当1－a＝0，即a＝1时，y＝1；
当1－a<0，即a>1时，方程y2－2y＋a＝0的解集为∅.
所以当a≤0时，＝1＋，
即x＝，
所求方程的解集为；
当0<a<1时，＝1±，即x＝，
所求方程的解集为；
当a＝1时，＝1，即x＝1，所求方程的解集为{1}；
a>1时，方程－＋a＝0的解集为∅.
2．已知关于x的方程x2－3mx＋2n＝0的两根为m与x1，求下列各式的值：
(1)(m2＋x)；(2)－1.
解 由一元二次方程根与系数的关系，得
m＋x1＝3m，mx1＝2n.
由m为方程的根，得m2－3m2＋2n＝0，即m2＝n.
(1)(m2＋x)＝[(m＋x1)2－2mx1]
＝[(3m)2－2×2n]＝(9m2－4n)＝×5n＝5.
(2)－1＝－＝m＝m·
＝m·＝m·
＝m·＝±＝±.
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