资源描述
4.5.1 函数的应用（二）
一、选择题
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析：∵2a＋b＝0，
∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
答案：C
3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：因为f＝＋log2＜0，f＝＋log2＞0，
所以f·f＜0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为.
答案：A
4．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．
g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图，
当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要满足y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.
答案：C
二、填空题
5．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．
解析：方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，
又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．
答案：存在
6．函数f(x)＝零点的个数为________．
解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得：x＝－3.
x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，
∵f(1)f(e3)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R 上有2个零点．
答案：2
7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．
解析：由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0.∴－2＜a＜0.
答案：(－2,0)
三、解答题
8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
解析：(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
9．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得
解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
[尖子生题库]
10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a＜.
即a的取值范围为.
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.
即a的取值范围为.
(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得
解得 ＜a＜.
即a的取值范围为.
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