1、 4.5.1 函数的应用（二）一、选择题1下列函数不存在零点的是()Ayx ByCy Dy解析：令y0，得A中函数的零点为1，1；B中函数的零点为，1；C中函数的零点为1，1；只有D中函数无零点答案：D2若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2 B0，C0， D2，解析：2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.答案：C3函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A. B.C. D.解析：因为flog20，flog20，所以ff0，故函数f(x)xlog2x的零点所在区间为.答案：A4已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在
2、2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象g(x)f(x)xa存在2个零点等价于函数f(x)与h(x)xa的图象存在2个交点，如图，当x0时，h(0)a，由图可知要满足yf(x)与yh(x)的图象存在2个交点，需要a1，即a1.故选C.答案：C二、填空题5函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点解析：方法一f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又 f(x)x23x18在区间1,8上的图象是连续的，故f(x)x23x18在区间1,8上存在零点方法二令f(x)0，得
3、x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18在区间1,8上存在零点答案：存在6函数f(x)零点的个数为_解析：x0时，令x22x30，解得：x3.x0时，f(x)ln x2在(0，)上递增，f(1)20，f(e3)10，f(1)f(e3)0，f(x)在(0，)上有且只有一个零点总之，f(x)在R 上有2个零点答案：27已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_解析：由题意f(1)f(0)0.a(2a)0.2a0.答案：(2,0)三、解答题8判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(
4、3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解析：(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无解，所以函数f(x)x22x4不存在零点. (3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.9已知函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，求函数ylogn(mx1)的零点解析：由题可知，f(x)x23(m1)xn的两个零点为1和2.则1和2是方程x23(m1)xn0的两根可得解得所以函数ylogn(mx1)的解析式为yl
5、og2(2x1)，要求其零点，令log2(2x1)0，解得x0.所以函数ylog2(2x1)的零点为0.尖子生题库10已知二次函数f(x)x22ax4，在下列条件下，求实数a的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解析：(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2a.即a的取值范围为.(2)因为方程x22ax40的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)52a0，解得a.即a的取值范围为.(3)因为方程x22ax40的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得 a.即a的取值范围为.4
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