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课时素养评价 四十二
事件的相互独立性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)=P(A)P(B)
=×=.
2.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为 ( )
A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.064
【解析】选B.1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.
3.在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=.
二、填空题(每小题4分，共12分)
4.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.
【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案：0.46
5.已知A、B是相互独立事件，且P(A)=，P(B)=，则P(A)=________；P()=________.
【解析】因为P(A)=，P(B)=，
所以P()=，P()=.
所以P(A)=P(A)P()=×=，
P()=P()P()=×=.
答案：
6.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.
【解析】由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96.
答案：0.24 0.96
三、解答题(共26分)
7.(12分)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P()=1-P()P()=1-×=.
8.(14分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率.
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
【解析】(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，
则P(A)=××=.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)=P(B)+P(C)=×+×+×=+=.
(15分钟·30分)
1.(4分)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.三次均反面朝上的概率是=，所以至少一次正面朝上的概率是1-=.
2.(4分)如图已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.灯泡不亮包括两种情况：
①四个开关都开，
②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
所以灯泡不亮的概率是×××+×××+×××=，因为灯亮和灯不亮是对立事件，所以灯亮的概率是1-=.
【加练·固】
在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，
ABC，AB，AC互斥，
所以P(E)=P(ABC∪AB∪AC)
=P(ABC)+P(AB)+P(AC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+
P(A)P()P(C)
=××+××+××=.
3.(4分)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
【解析】记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)=1×0.2×0.8×0.8=0.128.
答案：0.128
4.(4分)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
【解析】依题意得，加工出来的零件的正品率是××=，因此加工出来的零件的次品率是1-=.
答案：
5.(14分)甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率.
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.
(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)=0.7，P(Bi)=0.6，且Ai，Bi相互独立.
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件 A3，且这三次试跳相互独立.
所以P( A3)=P()P()P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)=1-
P()P()=1-0.3×0.4=0.88.
(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0，1，2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0，1，2)，
因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，
且M1N0，M2N1为互斥事件，则所求的概率为
P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)
=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)
=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4
=0.067 2+0.235 2=0.302 4.
所以甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.
1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意，P()·P()=，P()·P(B)=P(A)·P().
设P(A)=x，P(B)=y，
则
即所以x2-2x+1=，
所以x-1=-，或x-1=(舍去)，
所以x=.
2.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.
【解析】设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i=1，2)，依题意有P(Ai)=，P(Bi)=(i=1，2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.P()=P( )+
P(A2 )+P(A1 )
=P()P()+P()P(A2)P()P()+
P(A1)·P()P()=+××+×=.
所以P(C)=1-=.
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