2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十二棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修2.doc

课时素养评价 二十二
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B-AB1C的体积为 (　　)

A. B. C. D.
【解析】选D.==S△ABC×h=××3=.
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P-ABCD的体积为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1，
S正方形ABCD=1×1=1，所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=×AA1×S正方形ABCD=×1×1=.
3.已知长方体两两相邻三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为(　　)
A.xyz B.
C. D.
【解析】选B.设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
不妨设ab=x，bc=y，ca=z，
所以a2b2c2=xyz，
所以V=abc=.
4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积 (　　)

A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
【解析】选D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知三棱锥S-ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________. 
【解析】如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO=×4×=.

在Rt△SAO中，SO==，
所以V=×××42=.
答案：
6.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 

【解析】S四边形EFGH=4×6-4××2×3
=12(cm2)，V=6×6×4-×12×3
=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).
答案：118.8
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积.
【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.

因为OE=2，∠OPE=30°，所以PE=2OE=4.
因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32，S表面=S侧+S底=32+16=48.
8.(14分)在四面体ABCD中三组对棱分别相等，AB=CD=，BC=AD=2，BD=AC=5，求四面体ABCD的体积.
【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图.

设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则　所以
因为VD-ABE=DE·S△ABE=V长方体，
同理VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体，
所以V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.
而V长方体=2×3×4=24，所以V四面体ABCD=8.
(15分钟·30分)
1.(4分)一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 (　　)

A. B. C.2 D.
【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S梯形EFCB×3=S△ABC×3=S△ABC.设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h=S△ABC，解得h=.
2.(4分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为 (　　)
A.1∶1 B.1∶ C.1∶ D.1∶2
【解析】选C.如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形，其边长为正方体的面对角线.设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥=4×(a)2×
=2a2，S正方体=6a2，故S锥∶S正方体=1∶.

3.(4分)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为________.  

【解析】该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，应将其分割转化为规则几何体.分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连接DG、CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，棱锥高为，棱柱高为1，AG==.取AD的中点M，则MG=，S△AGD=×1×=，所以V=×1+2×××=.

答案：
4.(4分)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________. 

【解析】易知该几何体是正四棱锥.设正四棱锥为P-ABCD，连接BD，则PD=PB=1，BD=，则PD⊥PB.

设底面中心为O，则四棱锥高PO=，则其体积是V=Sh=×12×=.
答案：
5.(14分)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.

【解析】如图，E，E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O=12.

连接OE，O1E1，则OE=AB=×12=6，
O1E1=A1B1=3.
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H=O1O=12，OH=O1E1=3，HE=OE-O1E1=6-3=3.
在Rt△E1HE中，E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×42+32=32×17，所以E1E=3.
所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108.

1.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.  
【解析】如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按如图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

答案：8
2.若E，F是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E=CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A-BEFC的体积.
【解析】如图所示，连接AB1，AC1.

设AA1=h，因为B1E=CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又因为四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等，
所以VA-BEFC==.
又=·h，=·h=m，所以=，所以=-=m.
所以VA-BEFC=×m=，
即四棱锥A-BEFC的体积是.

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