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课时素养评价
二十 函数的表示方法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对得2分，有选错的得0分)
1.下列表格中的x与y能构成函数的是 ( )
A.
x
非负数
非正数
y
1
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
奇数
0
偶数
y
1
0
-1
D.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
-1
【解析】选B.选项A、C中，x=0时，y都有2个数值与之对应，D中任意一个自然数都有3个数值与之对应.
2.已知函数y=f(x)的图像如图所示，则函数的值域是 ( )
A.[-5，6] B.[2，6]
C.[0，6] D.[2，3]
【解析】选C.观察函数y=f(x)的图像上所有的纵坐标，可知此函数的值域是
[0，6]
3.(多选题)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A.甲比乙先出发
B.乙与甲跑的路程一样多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
【解析】选B，D.从图中直线看出s甲=s乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先于乙到达.
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表，函数y=g(x)的图像是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f(1))的值为 ( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选C.由y=g(x)的图像及y=f(x)的对应关系表得g(f(1))= g(2)=1.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知函数f=x2+，则f(x)=________，f(3)=________.
【解析】因为f=x2+
=+2，所以f(x)=x2+2，
所以f(3)=32+2=11.
答案：x2+2 11
【延伸探究】
把本例条件改为f=x2+，如何求f(3).
【解析】因为f=x2+=-2，
所以f(x)=x2-2，
所以f(3)=32-2=7.
6.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(单位：kg)与其运费(单位：元)由如图的一次函数图像确定，那么这个一次函数的解析式y=________，乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
【解析】设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0)，
代入点(30，330)与点(40，630)，得
解得即y=30x-570，
若要免费，则y≤0，所以x≤19.
答案：30x-570 19
三、解答题(共26分)
7.(12分)画出下列函数的图像：
(1)y=x+1(x≤0).
(2)y=x2-2x(x>1，或x<-1).
【解析】(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线图像如图(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1，或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
8.(14分)已知二次函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=4x，且f(0)=2，
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)在区间(-1，2]上，求函数f(x)的值域.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
因为f(0)=2，所以c=2，
因为f(x+2)-f(x)=4x，
所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x
整理得4(a-1)x+4a+2b=0
由x的任意性可得
解得a=1，b=-2，所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)知f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，
作出函数图像如图所示，
观察图像可知此函数的值域为[1，5).
【类题·通】二次函数解析式的设法
(1)若已知对称轴或顶点坐标，常设配方式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(3)若已知f(x)与x轴两交点的横坐标为x1，x2，常设分解式，f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax2+bx+c与y=ax+b(ab≠0)的图像只可能是 ( )
【解析】选D.由a的符号排除B，C，又A中y轴为抛物线的对称轴，即b=0，也应排除.
【发散·拓】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图像与系数的关系
(1)a决定开口方向及开口大小，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0，c).
①当c=0时，抛物线经过原点；
②当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；
③当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴.
2.一次函数y=kx+b图像跨越的象限
k>0，b>0时，函数图像经过一、二、三象限；
k>0，b<0时，函数图像经过一、三、四象限；
k<0，b>0时，函数图像经过一、二、四象限；
k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限.
2.(4分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是 ( )
A.(0，4] B.
C. D.
【解析】选C.因为y=x2-3x-4
=-，
所以对称轴为直线x=，当x=时，y=-.
因为x=0时，y=-4，由二次函数图像可知
解得≤m≤3，所以m的取值范围是.
3.(4分)函数y=的值域是________.
【解析】因为0≤16-x2≤16，
所以∈[0，4].
答案：[0，4]
4.(4分)若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________.
【解析】由题意可知，长方体的长为(x+10)cm，从而长方体的体积
y=80x(x+10)，x>0.
答案：y=80x(x+10)，x∈(0，+∞)
5.(14分)已知f(-1)=x-2，求函数f(x)的解析式.
【解析】令t=-1，t≥-1，则=t+1，
代入已知函数的解析式可得
f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1，t≥-1，
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥-1) .
【加练·固】
若f(2x+1)=4x2+4x则f(x)的解析式为________.
【解析】令2x+1=t，则x=.
所以f(t)=4×+4×=t2-1，所以f(x)=x2-1.
答案：f(x)=x2-1
1.一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为 ( )
A.100元 B.90元
C.80元 D.60元
【解析】选C.住房率是每天房价的函数关系，这种关系在题中是用表格的形式表示出来的，而每天的收入y=房价×住房率×间数(100)，我们也可以列出相应的表格：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
收入
6 500元
6 750元
6 800元
5 700元
从表格很清楚地看到，每天的房价定在80元时，每天的收入最高.
2. (1)已知f(x)+2f(-x)=x+1，求f(x)的解析式.
(2)设f(x)是R上的函数，且f(0)=1，并且对任意实数x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式.
【解析】(1)因为f(x)+2f(-x)=x+1，
所以f(-x)+2f(x)=-x+1.
于是得到关于f(x)的方程组
解得f(x)=-x+.
(2)方法一：由f(0)=1，
f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
设x=y，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1，所以f(x)-x(2x-x+1)=1，即f(x)=x2+x+1.
方法二：令x=0，
得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)，
即f(-y)=1-y(-y+1).
又令-y=x，代入上式得：
f(x)=1+x(x+1)，所以f(x)=x2+x+1.
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