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课时6 对数函数的性质与图像
知识点一 对数函数的概念
1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 符合对数函数的定义的只有③④.故选B.
2．若函数y＝log(2a＋1)x是对数函数，求a的取值范围．
解 因为y＝log(2a＋1)x是对数函数，所以
解得a>－，且a≠0，即a的取值范围是.
知识点二 与对数函数有关的函数图像
3.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图像大致为下图的( )
答案 A
解析 解法一：当x>0时，函数f(x)＝logax＋1(0<a<1)的图像是将函数y＝logax(0<a<1)的图像上所有点向上平移一个单位；再将图像关于y轴对称，得到的函数图像为A.
解法二：由f(x)＝loga|x|＋1，得f(1)＝1且f(－1)＝1，排除B，D，再由0<a<1知当x>0时，f(x)单调递减，排除C.故选A.
知识点三 与对数函数有关的函数定义域问题
4.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝.
解 (1)由得x<4且x≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)由得
∴<x≤1，∴所求定义域为.
知识点四 对数函数的单调性的应用
5.比较下列各组中两个值的大小(e为自然对数的底数)：
解
6．解下列不等式：
解
又∵x>0，∴0<x<1，∴不等式的解集为{x|0<x<1}．
(2)∵logm<1＝logmm，
∴当m>1时，m>，即m>1；
当0<m<1时，m<，即0<m<.
∴不等式的解集为.
(3)原不等式等价于解得
∴<x<1，∴原不等式的解集为.
知识点五 对数函数的性质综合
解
8．已知函数f(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性．
解 (1)∵1－x>0且1＋x>0，
∴－1<x<1.
∴f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
易错点 忽视真数的取值范围而致误
9.解不等式loga(2x－5)＞loga(x－1)．
易错分析 本题易出现未考虑真数的取值范围，也没有对a进行分类讨论的错误．
正解 当a＞1时，原不等式等价于
解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得＜x＜4.
综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
一、选择题
1．函数y＝ ln (1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案 B
解析 因为y＝ ln (1－x)，所以解得0≤x＜1.
2．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b<c<a B．b<a<c
C．c<a<b D．c<b<a
答案 D
解析 由题知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.
3．函数y＝－lg (x＋1)的图像大致是( )
答案 B
解析 当x＝0时，y＝0，而且函数为减函数，可见只有B符合．
A．(－∞，－3) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－3,1)
答案 A
解析
5．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．
二、填空题
6．已知函数y＝loga(x＋3)＋1的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (－2,1)
解析 令x＋3＝1，即x＝－2时，y＝1，故P(－2,1)．
答案 (1,3]
解析 要使函数有意义，
答案 －
解析
三、解答题
9．函数y＝logax，x∈[2,4]，a>0且a≠1，若此函数的最大值比最小值大1，求a的值．
解 当a>1时，y＝logax在[2,4]上为增函数，
∴最大值为loga4＝2loga2，最小值为loga2.
由loga4－loga2＝loga2＝1，
∴a＝2.
同理，当0<a<1时，求得a＝，
∴a的值为2或.
10．已知函数f(x)＝log2(2＋x2)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)因为2＋x2>0对任意x∈R都成立，所以函数f(x)＝log2(2＋x2)的定义域是R.
因为f(－x)＝log2[2＋(－x)2]＝log2(2＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2)由x∈R得2＋x2≥2，所以log2(2＋x2)≥log22＝1，即函数f(x)＝log2(2＋x2)的值域为[1，＋∞)．
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