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课时跟踪检测（八） 等式性质与不等式性质
A级——学考水平达标练
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
解析：选B x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
3．若<<0，则下列结论中不正确的是( )
A．a2<b2 B．ab<b2
C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D ∵<<0，∴b<a<0，∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A、B、C均正确，∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．
4．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－a<c＋b
C．若a>b，c<d，则>
D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才成立．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
5．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．M≥N
解析：选B ∵0<a1<1,0<a2<1，
∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，
∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)
＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
6．若x∈R，则与的大小关系为________．
解析：∵－＝＝≤0，
∴≤.
答案：≤
7．已知1<α<3，－4< β <2，若z＝α－β，则z的取值范围是________．
解析：∵1<α<3，∴<α<，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴－<α－β<，即－<z<.
答案：
8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
解析：若ab>0，>成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即①②⇒③；
若bc>ad，ab>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即③①⇒②；
由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0，即②③⇒①.
所以可以组成3个正确命题．
答案：3
9．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
解：∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．
10．(1)已知a<b<0，求证：<；
(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)由于－＝＝，
∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0.
∴<0. 故<.
(2)∵<，∴－<0，即<0，而a>b，
∴b－a<0，∴ab>0.
B级——高考水平高分练
1．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.
则将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为________．
解析：由②得a＝c＋d－b代入③得c＋d－b＋d<b＋c，∴c<d<b.
由②得b＝c＋d－a代入③得a＋d<c＋d－a＋c，∴a<c.
∴a<c<d<b.
答案：a<c<d<b
2．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|<1，得－1<a<1.
∴1＋a>0,1－a>0.即＝
∵0<1－a2≤1，∴≥1，∴≥1－a.
答案：≥1－a
3．已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．
解：令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
∴解得
又∵1≤a－b≤2，∴3≤3(a－b)≤6，
又∵2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，
即5≤4a－2b≤10.
故4a－2b的取值范围为5≤4a－2b≤10.
4．已知a>b>0，c<d<0.求证：<.
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0，
∴0<－<－.
又∵a>b>0，∴－>－>0，
∴ > ，
即－>－，
两边同乘以－1，得<.
5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a<b，且≥10%.由于－＝>0，于是>.又≥10%，因此>≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
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