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习题课（四） 平面向量初步
一、选择题
1．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
解析：选D 依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D.
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ (λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A 由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.
4．已知||＝1，||＝，⊥， 点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n (m，n∈R)，则等于( )
A. B．3
C. D.
解析：选B 如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，
即＝＋，所以＝3.
5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B 如图，设菱形对角线交点为O，
∵＋＝＋＝，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.
在Rt△AOB中，||＝＝，
∴||＝2||＝2.
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
解析：选D ∵＝－，∴＋＋＝－，即2＋＝0，即＝2，故＝，∴P是AC边的一个三等分点．
二、填空题
7．若||＝2||，且＝λ，则λ＝________.
解析：①当点C在线段的延长线上时，如图．
则＝2，则λ＝2.
②当点C在线段上时，如图．
则＝－2，即λ＝－2.
综上，λ＝±2.
答案：±2
8．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由解得
故e1＋e2＝＋＝a＋b.
答案： －
9.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n (m，n∈R)，则m－n＝______.
解析：∵＝3，∴＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，∴m－n＝－－＝－2.
答案：－2
三、解答题
10.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||，则a＋b＋c＝，
且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
11．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1， ＝e2，试用e1，e2表示，.
解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝，
得
①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，
即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，
所以＝－e1＋e2.
同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.
12．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2.
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0.
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥8，
即a＋b的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．
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